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阅读与思考
——十字相乘法
回顾复习
1.什么是因式分解？
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
①提公因式法：
平方差公式
a2－b2=(a+b)(a－b)
完全平方公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
适用范围：各项满足公式条件
适用范围：各项含有公因式
②公式法：
动动手
你能把下面1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形并求出你拼成的图形的面积吗？
x
x
p
q
q
x
x
p
拼出的图形为：
自主探究
这个大长方形的面积可以怎么求？
x2+(p+q)x+pq
=
x
p
q
x
px
qx
x2
(x+p)(x+q)
由于因式分解是与整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ①
利用①式，我们可以将某些二次项系数是1
形如"x2+mx+n"的二次三项式分解因式
观察特点
等式的特点：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
(1)等式左边是一个关于x的二次项系数为1的二次三项式；
(2)等式左边的常数项可以分解成两个因数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数；
(3)等式右边为两个关于x的一次因式的乘积．
找规律
（x+2)(x+3)=
x2+3x+2x+6=
x2
6
x2+5x+6
5x怎么得出来的？
由此你想到了什么？
x2+(2+3)x+2×3=
x
x
2
3
2x
+
3x
=
(2+3)x=5x
(x+2)(x+3)
找规律
自主探究
例1 分解因式：x2+5x+4
分析：观察上式可知，无法利用公因式或公式进行因式分解，只能尝试利用①式（即x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)）进行分解；
为此，我们需找到两个数p、q，满足p+q=5，pq=4.
解：x2+5x+4=(x+1)(x+4)
x
x
1
4
1·x+4·x=5x
拆两边，凑中间
步骤：
①竖分二次项与常数项；
②交叉相乘，和相加；
③检验确定，横写因式．
x2+(p+q)x+pq=
x
x
p
q
px
+
qx
=
(p+q)x
(x+p)(x+q)
归纳小结
随堂巩固
（1）x2+3x+2;
(2)x2+6x+8;
深入讨论
根据有理数的加法与乘法法则回答：
(1) 当p+q>0，pq>0时，讨论p、q的正负性及p、q的数值大小关系？
(2) 当p+q<0，pq>0时，讨论p、q的正负性及p、q的数值大小关系？
(3) 当p+q>0，pq<0时，讨论p、q的正负性及p、q的数值大小关系？
(4) 当p+q<0，pq<0时，讨论p、q的正负性及p、q的数值大小关系？
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
p+q<0，pq<0，因此，p、q异号，且负数的绝对值大
p+q>0，pq<0，因此，p、q异号，且正数的绝对值大
p+q<0，pq>0，因此，p、q同为负号
p+q>0，pq>0，因此，p、q同为正号
巩固理解
例2 分解因式：① x2-11x-12； ② x2+4x-12； ③ y2-11y+24；
④ x2+14x+24
问题：如何快速确定p，q的值？
①中，由p+q=-11，pq=-12可知，p+q<0，pq<0，因此，p、q异号，且负数的绝对值大；得-12=-12×1，利用十字相乘法，x2-11x-12=(x+1)(x-12)
②中，p+q>0，pq<0，可知p、q异号，且正数的绝对值大；-12=-2×6，利用十字相乘法，x2+4x-12=(x-2)(x+6)
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例2 分解因式：① x2-11x-12； ② x2+4x-12； ③ y2-11y+24；
④ x2+14x+24
问题：如何快速确定p，q的值？
③中，p+q<0，pq>0，可知p、q同为负；24=(-3)×(-8)，利用十字相乘法， y2-11y+24=(y-3)(y-8)
④中，p+q>0，pq>0，可知p、q同为正；24=2×12，利用十字相乘法， x2+14x+24 =(x+2)(x+12)
感悟：十字相乘法的运用成功依赖于对原式结构的把握，有时需要多次尝试验证.
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
巩固理解
随堂巩固
1. 分解因式：
① x2+9x+14 ② x2-6x+8
③ x2+x-12 ④ y2-2y-24
2. 如果x2-px+q=(x+a)(x+b) ，那么p等于 ( )
A.ab B.a+b C. -ab D -(a+b)
3.如果 x2+(a+b)x+5b=x2-x-30 ，则b为 ( )
A.5 B.-6 C.-5 D-6
4 .多项式x2-3x+a 可分解为(x-5)(x-b)，则a，b的值分别为 ( )
A.10和-2 B.-10和2 C.10和2 D.-10和-2
随堂巩固
5. 下列各式中，不能用十字相乘法分解的是 ( )
A.x2+x-2 B.x3-x2-6x C.x2+x+2 D.x2-6xy+8y2

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