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2023-2024学年甘肃省兰州市城关区树人中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
2．（3分）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边
D．三角形的内角和等于180°
3．（3分）人体内红细胞的直径大约为0.00085cm，数据0.00085用科学记数法表示为
A．0.85×10﹣3 B．8.5×10﹣4 C．85×10﹣5 D．8.5×10﹣5
4．（3分）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为
A．100° B．105° C．115° D．120°
5．（3分）下列说法正确的是
A．“若a是实数，则|a|≥0”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“天津市明天降雨的概率为0.6“，表示天津市明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
6．（3分）如图中所反映的过程是：李红从家跑步去体育中心广场，在那里锻炼了一阵后，又去面馆吃面，然后步行回家．其中x表示时间，y表示李红离家的距离．根据图象，以下四个说法错误的是
A．李红从面馆回家的平均速度是3千米/小时
B．体育中心广场离面馆4千米
C．李红在体育中心广场锻炼了15分钟
D．体育中心广场离李红家2.5千米
7．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，尺规作图的痕迹如图所示．若AC＝3，AB＝5，则线段BE的长为
A． B． C．1 D．2
8．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高是
A．BE B．AD C．CF D．AF
10．（3分）等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是50°，则该等腰三角形顶角是
（1）甲的结果是100°；（2）乙的结果是40°；（3）丙的结果是140°．
A．甲、乙的结果合起来才对
B．乙、丙的结果合起来才对
C．甲、乙、丙的结果合起来才对
D．甲、乙、丙的结果合起来也不对
11．（3分）如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB＝2OD，连接AO并延长交BC于点E．若△BOE的面积为2，则△ABC的面积是
A．10 B．11 C．12 D．13
12．（3分）如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）计算：（π﹣3）0﹣2﹣1＝　 　 。
14．（3分）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是　 　 ．（只需写一个，不添加辅助线）
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝4，则四边形ABCD的面积是 　 　 。
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是BC上一点，连接AD，点D到AB的距离等于CD的长，P、Q分别是AD、AC上的动点，连接PC，PQ，则PQ+PC的最小值是 　 　 。
三、解答（共12小题，共72分）
17．（4分）若5n＝3，25m＝11，求53n﹣2m的值。
18．（4分）先化简，再求值：[（4a﹣3b）（a+3b）﹣（a﹣2b）（a+2b）+5b2]÷3a，其中a＝4，．
19．（4分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图。
（1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即可）
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹）
20．（6分）如图，点C在∠AOB的边OB上，过C作DE∥OA，CF平分∠BCD，CG⊥CF于C．
（1）若∠BCG＝55°，求∠DCF；
（2）过O作OH∥CF，交DE于点H，求证：OH平分∠AOB。
21．（6分）在一个不透明的盒子里只装有红、白、黑三种颜色的球，每个球除颜色外完全相同，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是。
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）能否通过只改变盒子里其中一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，写出一种可行的方案；若不能，说明理由。
22．（6分）如图，在△ABC中，D为AC中点，F为AB边上一点，连接FD，并延长FD至点E，使得ED＝DF，连接CE。
（1）求证：△CDE≌△ADF；
（2）若EF∥BC，∠A＝60°，∠E＝50°，求∠BCD的度数。
23．（6分）一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售，如果每件服装按着标价的7.5折出售，可盈利60元．若每件服装按着标价的5折出售，则亏损60元．问：
（1）每件服装的标价为多少元？
（2）若这种服装一共库存80件．按着标价8折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利2400元，求按8折出售的服装有多少件？
24．（6分）如图，AB＝36米，CB⊥AB于点B，EA⊥AB于点A，已知CB＝24米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿BA向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒．
（1）如图，S△BFC＝　 　 ．（用t的代数式表示）
（2）点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值，使得△AFD与△BCF全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
25．（7分）电动汽车续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标．高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关，某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310
则自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 。
（2）如果设速度为x，续航里程为y，请在图中画出变量关系的图象：
（3）结合画出的图象，下列说法正确的有 　 　 ；
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在 　 　 至 　 　 千米/小时范围内。
26．（7分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 　 　 ；
（2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 　 　 ；（用含α的代数式表示）
（3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为14cm，求FC的长。
27．（8分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”。
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”。
理解概念：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用：
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
动手操作：
（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数．
28．（8分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　 ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　 ．
四、附加（共1小题，共10分）
29．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线AC上一点，点F在线段BC上，连接DF并延长交AB于点E，∠CDB＝∠EFB。
（1）如图1，求证：DE＝BD。
（2）如图2，AM⊥DB于点M，交BC于点H，求证：BH+2CD＝AD。
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，交AM于点G，当BH＝8，S△BCE＝80时，求△ADE的面积。
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