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重点专项训练：一元二次方程与实际问题-数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是．
2．为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材1 某款中央空调每台进价为20000元．
素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，在此基础上，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决 问题1：当团购5台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量为x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．
3．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ．
(1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示）
(2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
4．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出与的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元
(3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润 若能，求出定价：若不能，请说明理由．
5．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
6．某学校为落实活动育人的教育理念，计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园，供学生使用．如图．为了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为504米2，问小路的宽是多少米？
7．某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？
8．2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？
9．汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣工艺，也是国家非物质文化遗产之一．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批汴绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了元，采购书签花费了元．每件文化衫比每个书签的进价贵元，且采购书签的数量是文化衫数量的倍．
(1)求每件文化衫和每个书签的进价．
(2)社团活动期间，文化衫的售价为每件元、书签的售价为每个元．经统计，平均每天能售出文化衫件，书签个．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销，要求降价幅度不超过．据调查，每降低元，平均每天多售出件文化衫．社团希望在保证书签的售价和销量不变的情况下，通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到元，则文化衫的售价应定为每件多少元？
10．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．
(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？
11．滁菊是安徽滁州特有的菊花，在我国药用菊花中排名第一．某抖音主播以每罐（克）元的价格新进一批滁菊，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐元时，每天可售出罐．后来经过市场调查发现，每罐滁菊的售价每涨价元，则平均每天少卖出罐，若设该种滁菊的售价为元．
(1)该抖音主播每天售出滁菊_____罐；（用含的式子表示）
(2)抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过，若该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利元，求该种滁菊每罐的售价．
(3)在（2）的条件下，抖音主播为回馈粉丝，每天从利润中拿出元返还给购买滁菊的粉丝，求抖音主播实际是按照原售价的几折出售？
12．为了增强全民健身，年春季，某市将于举办万人马拉松活动，以下是本次马拉松活动的相关信息：
项目 距离 报名费 规模
马拉松 千米 元/人 人
半程马拉松 千米 元/人 人
健康跑 3千米 元/人 人
(1)若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？
(2)该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知年该校参加健康跑仅有4人，且年~年参赛人数的增长率相同，求该校参加健康跑人数的增长率？
13．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加20套，售价每套可降低80元．但最低售价不得少于900元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
14．为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值．
15．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
16．某电子产品店紧跟科技潮流，计划购进一批智能手环和智能手表进行销售，以满足大众的健康管理需求．首次购进智能手环和智能手表共200个．每个智能手环进价为50元，售价定为80元；每个智能手表进价为200元，售价定为300元．
(1)若所有智能手环和智能手表全部售空，要求总利润不低于13000元，则该店最多可购进智能手环多少个？
(2)第二次购进时，因市场需求旺盛，该店决定共购进400个商品，进价不变．其中智能手环的进货量在（1）的最大值基础上增加个，售价提高元．而智能手表在运输过程中有损坏无法销售，售价保持不变．最终第二批商品全部售完后总利润为26700元，求的值．
《重点专项训练：一元二次方程与实际问题-数学九年级上册苏科版》参考答案
1．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题，要运用含x的代数式表示矩形的长与宽，再由面积关系列方程．设矩形温室的宽为，则长为.，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【详解】解：设矩形温室的宽为，则长为，
根据题意，得，
，
，
，
解得：（不合题意，舍去），，
，
答：当矩形温室的长为时，蔬菜种植区域的面积是．
2．问题1：元；问题2：元；问题3：9台
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、一元二次方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．
问题：根据题意列式计算即可得解；
问题：根据题意列出代数式即可；
问题：设团购数量为m台，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】解：问题1：当团购5台时，每台空调的团购价为：（元）；
问题2：由题意可得：设团购数量为x台，则每台空调的团购价为（元）；
问题3：设团购数量为m台，
由题意得，
解得或，
∵一个团的团购数量不超过11台，
∴，
∴当团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
3．(1)，
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长；
（2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
故答案为：，；
（2）解：存在，理由如下：
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
存在的值，使得的面积等于，此时的值为1．
4．(1)；
(2)每双运动鞋的售价应该定为元；
(3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）由题意，设与的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过点和，
，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，
根据题意得，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
（3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
5．(1)1008元
(2)10元
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可
（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用“总利润每个的销售利润日销售量”列出方程，求解并取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：（元）
答：此时每天可获利元．
（2）解：设应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
每个模型盈利不少于25元，
，
，
，
答：每个模型应降价元．
6．小路的宽是米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽为米，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设小路的宽为米，
由题意可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是米．
7．(1)
(2)10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据商场获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：当商品降价10元时，商场获利1250元．
8．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可．
【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，
由题意得，，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：松延动力机器人的平均速度是．
9．(1)每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元
(2)元
【分析】（）设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元，根据题意列出方程求出进而即可求解；
（）售出个书签的利润为元，降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴，，
答：每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元；
（2）解：售出个书签的利润为元，
降价前文化衫每件的利润为元，
设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，
根据题意，得，
解得，，
∵降价幅度不超过，，即，
∴不合，舍去，
∴，
元，
答：文化衫的售价应定为每件元.
10．(1)
(2)120盒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，建立方程求解即可；
（2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，根据利润不低于2000元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：每次降价的百分率为；
（2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为120，
答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒．
11．(1)
(2)该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元
(3)抖音主播实际是按照原售价的九折出售
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键在于读懂题意，找准等量关系．
（1）结合每天可售出200罐，每罐滁菊的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，进行列式化简，即可作答．
（2）根据数量乘单件利润等于获利1700元，进行列式计算，即可作答．
（3）结合由（2）知每罐滁菊的售价为30元，每天能售出170罐，再设实际是按照原售价的折出售，依题意进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解： ，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
整理得，
解得，．
，
，
不符合题意，舍去，
．
答：该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元；
（3）解：由（2）知每罐滁菊的售价为30元，每天能售出170罐，
设实际是按照原售价的折出售，
根据题意得，
解得．
答：抖音主播实际是按照原售价的九折出售．
12．(1)该校有2名同学报了半程马拉松，有9名同学报了健康跑
(2)该校参加健康跑人数的增长率为
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程．
（1）设该校有x名同学报了半程马拉松，有y名同学报了健康跑，根据“学校共花费了报名费元”、“派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米”列出方程组求解；
（2）设增长率为m，根据“年~年参赛人数的增长率相同”、“年该校参加健康跑仅有4人”、“年该校参加健康跑有9人”，列出方程求解．
【详解】（1）设该校有x名同学报了半程马拉松，有y名同学报了健康跑，
依题意得：，
解得．
答：该校有2名同学报了半程马拉松，有9名同学报了健康跑．
（2）设增长率为m，
由题意得，
解得：，（舍去），
答：该校参加健康跑人数的增长率为．
13．(1)
(2)200套
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的32万人增加到2024年的50万人列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为．
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元，符合题意；
当时，售价元（不符合题意，故舍去）．
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
14．12.5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于的一元二次方程，再设，将方程换成关于x的一元二次方程求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
设，
则原方程可化为：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去，
，
即，
答：的值为
15．(1)月平均增长率为
(2)售价应降低20元
【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
（1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可；
（2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答．
【详解】（1）解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低20元．
16．(1)100个
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设该店购进智能手环x个，则购进智能手表个，根据总利润不低于13000元列出不等式求解即可；
（2）根据题意可得智能手环的数量为个，每个的利润为元，则智能手表的数量为个，据此分别求出智能手环和智能手表的利润，再根据总利润为26700元列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设该店购进智能手环x个，则购进智能手表个，
由题意得，，
解得，
∴x的最大值为100，
答：该店最多可购进智能手环100个；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去）．
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