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2026届高考数学一轮复习备考专题训练：函数的应用（真题演练）
一、选择题
1．（2025·安化模拟）函数在内的零点之和为（　　）
A． B． C． D．0
2．（2025·梅河口模拟）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．e
3．（2025·浙江模拟）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025·河池模拟）关于函数，下列选项正确的是（　　）
A．函数没有零点 B．函数只有1个零点
C．函数至少有1个零点 D．函数有2个零点
5．（2025·金川模拟）函数与的图象在区间上的交点个数为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．（2025·宜昌模拟）设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江模拟）已知函数，且有，，则在区间内至少有（　　）个零点．
A．4 B．8 C．10 D．12
8．（2025·广州模拟）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·梅河口模拟）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若有两个极值点
B．的对称中心为
C．过平面内一点作的切线最多有三条
D．有三个不同的根，则
10．（2025·眉山模拟）已知函数，，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
11．（2025·仁寿模拟）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（　　）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有个零点
三、填空题
12．（2024·深圳模拟）已知函数f(x)=cosωx 1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　 　.
13．（2025·松原模拟）已知，若在上有解，则的最小值是　 　．
14．（2022·东城模拟）已知函数若，则不等式的解集为　 　；若恰有两个零点，则的取值范围为　 　.
四、解答题
15．（2025·义乌模拟）已知函数，
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上存在零点
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：当时，.
16．（2025·温州模拟）设曲线．
（1）求证：关于直线对称；
（2）求证：是某个函数的图象；
（3）试求所有实数与，使得直线在的上方．
17．（2025·济宁模拟）已知函数，.
（1）讨论零点的个数；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2025·建湖模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
19．（2025·开福模拟）已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若时，恒成立，求正实数的取值范围；
（3）当时，若正实数满足，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B
12．【答案】
13．【答案】12
14．【答案】（-1，ln2）；（e，+∞）
15．【答案】（1）解：当时，，，
则，
当时，，
当时，
在上单调递减，在上单调递增，
则函数的极小值，无极大值.
（2）（ⅰ）解：因为，
当时，因为恒成立，
所以在上单调递增，
又因为，
在上无零点；
当时，因为，
所以，
所以在上单调递减，
又因为，
在上无零点；
当时，，则，
故在上单调递减，
当，则，
故在上单调递增，
所以，
又因为当时，，
，
综上所述：.
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，
当时，，
，且，
要证，
只要证，
即证，
只需证，
令，
则
在上单调递增，
又因为，
所以
由上式不等式成立可知，原不等式恒成立.
16．【答案】（1）证明：点关于的对称点是，
设点在曲线上，即，
所以，
即也在曲线上，所以关于直线对称．
（2）证明：固定，设，则，
当时，恒成立，至多只有一个零点；
当时，令，
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为
所以有且仅有一根，即对任意实数，关于的方程只有一解，即对任意实数，只有一个与之对应，
互换曲线方程不变，同理可知对任意实数，只有一个与之对应，所以是某个函数图象．
（3）解：引理：对于上任意一点，恒有．
证明：设，则，
所以，所以的图象夹在与之间，所以．
联立，消y整理得，
当时，，
令所以，
令，解得或，
又，
又，，所以，此时方程无解，
当时，方程也无解，
综上所述，．
17．【答案】（1）解： 函数 ，
令，则，
令定义域为，，
当时，在上单调递减，
当时，在 上单调递增，
当时，时，，当时，，
当时，，
则当时，函数无零点；
当或时，函数有1个零点，
当时，函数有2个零点；
（2）解：当时，由，可得，
不等式等价于对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
当，当，则函数在内单调递减，在内单调递增，
且，又因为，所以对恒成立，所以时成立，
当时，，显然成立；
当时，等价于
或，即或
对于，取，得，与矛盾，故不成立，
对于，即，对恒成立，
令，则，
则在内单调递减，且，故，
综上，实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：当时，，定义域为，
所以，，，
所以的图象在处的切线方程为，
即，化为一般式为．
（2）解：因为函数，定义域为，
所以，
又因为函数在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
则在上必存在零点，
因为和二次函数的性质，
可知只需，
解得，
则实数的取值范围是．
19．【答案】（1）解：由，得，
因为，
所以，
所以，切线方程为.
（2）解：由，当时，则；
当时，此时，所以；
当时，
设，，令
则，
若，则单调递增，
所以，
因此单调递增，
则，符合题意；
若，
令，则，
此时，在上单调递增，在上单调递减，
因此，
因为，
设为的零点，注意到单调递增，
当时，此时，
则，
所以单调递增，
则，符合题意；
当时，
则存在，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以，
解得，此时，
则，
因此，
综上可知，.
（3）证明：由（2）可知，
当且时，，
所以，
当时，，令，
则，其中，
所以单调递增.
设，其中，且，
则，
因此单调递增，
所以，
则可得，
则可知，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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