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2026届高考数学一轮复习备考专题训练：空间向量与立体几何（真题演练）
一、选择题
1．（2024高三下·湖南模拟）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是(　　)
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．（2025·攀枝花模拟）在正方体中，、分别棱，的中点，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．面 D．面
3．（2022·毕节模拟）在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·汕头模拟）设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2025·朝阳模拟）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·丰台模拟）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论：
①存在唯一的点，使得，，，四点共面；
②的最小值为；
③存在点，使得；
④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为.
其中所有正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024高三上·宝山模拟）如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·虹口模拟）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（　　）．
A． B． C．． D．
二、多项选择题
9．（2025·揭阳模拟）三棱锥中，平面平面，，，其各顶点均在球O的表面上，则（　　）
A．
B．点A到平面的距离为
C．二面角的余弦值为
D．球O的表面积为
10．（2025·浙江模拟）正方体的棱长为，点、分别在线段、上运动（包括端点），则下列结论正确的是（　　）
A．正方体被经过、两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形
B．不可能与、都垂直
C．有可能与正方体的六个表面所成的角都相等
D．线段的中点所围成的区域的面积为
11．（2025·仁寿模拟）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（　　）
A．平面
B．该石凳的体积为
C．，，，四点共面
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．（2025·青神模拟）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则　 　．
13．（2025·成华模拟）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为　 　.
14．（2023·绵阳模拟）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为　 　．
四、解答题
15．（2025·湖南模拟）如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点.底面.
（1）求证：平面；
（2）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？
16．（2025·安化模拟）如图，四棱锥中，底面，，，，平面PAD与平面PBC的交线为l，且．
（1）证明；
（2）若，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值．
17．（2025·梅河口模拟）如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18．（2025·金川模拟）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．
（1）证明：与相交且交点在直线上．
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
19．（2025·会宁模拟）已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，二面角的大小为．
（1）若为的中点．
①求点到平面的距离；
②若，求平面与平面夹角的余弦值．
（2）若，点为线段的中点，将沿折起，使得与四边形在平面的同侧，且平面平面，点为四面体的内切球球面上的一动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：连接，
平面，，，
，，，
以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（如图），
设，
则，，.
设，则，
为的中点，
，
又因为，
，
，
则，
又因为平面，平面，
平面.
（2）解：设的重心为，
则，
，
平面，
因为平面，
，
又因为，
，
，
，则，
经检验，当时，在平面内的射影为的重心，
所以.
16．【答案】（1）证明：已知平面PAD与平面PBC的交线为l，且．平面，平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，
∴．
又，，，
由余弦定理得，
∵，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，
∴.
即.
（2）解：由题意，以A点为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系
．
，，，
平面PCB中，，，
设为面PCB的一个法向量，
则，令，则，
∴，
平面ABE中，，
，，
设为面ABE的一个法向量，
则，解得，令，则，
∴
设面PCB与面ABE所成角为θ，
则，
所以面PCB与面ABE所成夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）证明：在平面ABC内过点作直线，因为平面，平面，所以，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
因为为的中点，所以，，，，
因为，所以，
又因为平面，平面，，所以平面；
（2）解：设，即，
则，
，，
设平面的一个法向量，则，
令，求得，即，
设直线与平面所成角为，
则，
令，
当时，取最小值，即，
即当时，取得最大值，.
18．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为，所以，
又因为分别是棱上异于端点的点，所以，则四边形为梯形，与相交，
记，因为平面平面，
平面平面，所以，则与的交点在直线上；
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
则，，，，
设为平面的法向量，
由，可得，
令，得，即，
设直线与平面所成的角为，
，解得，
则当直线与平面所成角的正弦值为时，．
19．【答案】（1）解：①、设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，如图所示：
因为四边形为矩形，所以，
又因为，且分别为的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
因为，所以．
因为，所以，则点到平面的距离为；
②过点作平面，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由①知，，
由，
可得，，
，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即，令，解得，
则为平面的一个法向量，
，即令，解得，
则为平面的一个法向量，
，
故平面与平面夹角的余弦值为；
（2）解：易知四面体是棱长为的正四面体，作平面，设内切球的球心为，建立空间直角坐标系，如图所示：
且，则．
设内切球的半径为，由等体积法知，则，
设内切球球面上任意一点为，则，
空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
因为，所以，解得，
易知.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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