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2026届高考数学一轮复习备考专题训练：立体几何初步（真题演练）
一、选择题
1．（2025·长沙模拟）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·安化模拟）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（　　）
A．3π B．6π C．9π D．12π
3．（2025·深圳模拟）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·腾冲模拟）如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，则三棱锥的最大体积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广东模拟）《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，即，其中常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）、球（直径为）的“立圆率”分别为、、，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江模拟）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·湘阴模拟）已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·北京市模拟）故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·温州模拟）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（　　）
A． B．
C．平面 D．平面
10．（2025·安化模拟）如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．当M为的中点时，平面
B．四面体的体积为定值
C．的最小值为
D．四面体的外接球半径的取值范围是
11．（2025·苏州模拟）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是（　　）
A．使三棱锥体积取得最大值的点唯一
B．存在点，使得直线与的夹角为
C．时，点的轨迹是线段
D．平面时，点的轨迹长为
三、填空题
12．（2025·夏津模拟）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是　 　（用数字作答）．
13．（2025·广东模拟）如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为　 　.
14．（2025·湖南模拟）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为　 　．
四、解答题
15．（2025·广东模拟）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.
（1）证明平面；
（2）求平面与平面的夹角.
16．（2025·浙江模拟）如图，已知正方形和等腰梯形所在的平面互相垂直，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
17．（2025·阳西模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.
18．（2025·长沙模拟）如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.
（1）求证：；
（2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
19．（2025·桐乡市模拟）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面．
（1）求点的轨迹长度；
（2）当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】24
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：∵，，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，、平面 ，
∴，，
∴SA，AD，AB两两垂直，
如图所示，以所在直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
∵平面，平面，，，
，，平面，
∴平面，
∴平面的一个法向量为，
设为平面的一个法向量，
，，
，令，则，，，
设平面与平面的夹角大小为，
，
∵，∴，∴平面与平面的夹角大小为

16．【答案】（1）证明：设与交于点，连接，
在正方形中，，所以，所以，
而，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：设的中点为，连接，
因为四边形为等腰梯形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
则，，
因为，所以，解得（舍去）.
所以，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以.
因为，所以
所以二面角的正弦值为.

17．【答案】（1）证明：由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：由题知，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
过作，因为，所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）证明：因为底面四边形是矩形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为为中点，，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：在矩形中，，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以为与直线所成角，
在中，，，则，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，，
即，
易知平面的一个法向量为，
则，由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
又因为，如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
设AB=b，则，，
因为点为梯形内（包括边界）一个动点，可设，所以，
又，
设平面的法向量为，
则，令z=1，则x=b，y=b，所以，
因为平面，所以，
所以，即，
取，则；取，则，所以的轨迹长度为.

（2）解：取的中点为，连接，连，由（1）可得的轨迹为.
又由（1）可得平面，
因为平面，所以，由勾股定理可知，，
若线段最短，则最短，此时有，
而，所以点为的中点，所以，
所以，，，，
设平面的法向量为，
故，令t=1，则u=b，v=0，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或，
易得平面，所以点到平面的距离为或，
所以到直线的距离为，
易得，所以，
故三棱锥的体积为或者为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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