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2024-2025学年北京市十一学校高二（下）诊断
数学试卷（7月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中为偶函数，且在上递增的是( )
A. B. C. D.
3.已知实数，，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：
汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
汽车在时间段内不断加速行驶；
汽车在时间段内不断减速行驶；
汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度．
其中正确结论的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
7.“”是“对任意，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：利用这一方法，的近似代替值( )
A. 大于 B. 小于
C. 等于 D. 与的大小关系无法确定
9.已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数与的图象如下图所示，设函数，则函数在上的极大值点个数为( )
A. B. C. D.
11.荀子劝学：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的倍时，大约经过了( )
参考数据：，
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
12.函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是( )
；；；．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.函数的定义域为______．
14.使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是______．
15.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______．
16.已知是函数的极大值点，那么的取值范围是______．
17.已知，，，若，，则的最小值是______．
18.已知函数，若，则的单调递增区间为______；若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
19.已知函数，当时，的值域是______；若且，使得成立，则实数的取值范围为______．
20.已知函数，给出下列四个结论：
当时，有一个零点；
当时，存在常数，使得恒成立；
，在上单调递减；
若有三个零点，则整数的最小值为．
其中所有正确的结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知函数．
时，求在处的切线方程；
讨论的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
证明：，并求函数、的解析式；
直接说明函数的单调性，并解关于不等式：；
设，，对于，，使得，求实数的取值范围．
23.本小题分
已知函数．
若无单调递减区间，求的取值范围；
关于的方程有两个不同的根、，且．
若，求的取值范围；
若，记问：当取何值时，取得最小值．
24.本小题分
已知集合是正整数集的真子集，若满足如下两个性质，则称具有性质条件：存在，，，使得；条件：对任意，，，且，都有．
判断下列两个集合是否具有性质；无需过程；．
若集合具有性质，且为有限集，求集合的元素个数的最小值和最大值；
是否存在具有性质且为无限集的集合？如果存在，求出满足条件的所有集合；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.只需满足即可
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.时，，，
又，故，
在处的切线方程为，即；
函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，解得；由，解得，
在上单调递减，上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，上单调递增；
由题意要使恒成立，只需即可．
由可知，当时，在上单调递增，且，
当时，，不合题意，舍去；
当时，在上单调递减，上单调递增，
，
只需，即对于任意的恒成立即可．
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，上单调递减；
，
，
只有符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
22.因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且
则，即，故得证，
联立可得，；
函数为上的增函数，证明如下：
任取，由
，
因，则，且，故得，
所以函数为上的增函数，
由得，
因为为上的奇函数，
所以不等式化为，
又在上递增，
所以，即，解得或，
故所求不等式的解集为；
因为，
在上递增，且，在上递增，
所以函数在上单调递增，
当时，，故；
又因为
，
令，即有，
又，
故当时，，即．
因为对于，，使得，
故需使解得，
故实数的取值范围是．
23.因为且，则且，
因为函数无单调递减区间，则对，，
即，可得且，
令，其中，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即实数的取值范围是；
当时，由可知，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：
减 减 极小值 增
故函数的极小值为，
且当时，，当时，；如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是；
由题意可得，即，且，
可得，即，故，
因为，其中且，，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
故，故，即在上单调递增，在上单调递增，
因为，故当时，；
当时，．
当时，；
故有，，
令，则，
令，则，
故函数在上单调递减，故，故，
故当取最小值时，取最大值，即在时取最大值，
令，其中，则，
令，则对任意的恒成立，
即函数在上单调递减，
当时，，且，
故存在，使得，
当时，，，即函数在上单调递增，
当时，，，即函数在上单调递减，
所以，，此时，即，
即当时，取得最小值．
24.对于，若，，使得，只能是，此时，所以具有性质，
对于，取，则，但，不满足条件，所以不具有性质，
所以具有性质，不具有性质；
取，具有性质．
，则，，，，，
若，，，
时，，，，，
最小值为；
设中的最大值为，则，
时，，，
时，，，，
是满足性质的，
再添加，就必须添加，这样集合，，
时，，，
，，
再添加，，，，，满足性质的，
若时，，，
，，，，，，
的最大值为．
，，是奇数，，，
以此类推，一切小于的正奇数都属于，
，，，
记，，，
依此类推，可得到任意大的偶数属于，
，，
，，
依此类推得到所有偶数属于，
只要具有性质且为无限集的集合中含有大于等于的奇数，则所有的正整数都属于集合．
若没有大于等于的奇数，则必有大于的偶数，，，时比更大的偶数，由此得出任意大的偶数属于，从而属于，于是得出所有的偶数都属于，
这样一来，奇数，，是可选的，
，，，，
集合中时必有，，有时必有，从而分析得到所有的满足条件的无限集合：
有大于等于的奇数时，只有一个，
没有大于的奇数时有个：
，
，．
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