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2024-2025学年山东省临沂某校高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮次的实验中，命中次数的均值为，则的方差为( )
A. B. C. D.
4.小明将，，，，，这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个之间只有一个数字，且与相邻，则可以设置的密码种数为( )
A. B. C. D.
5.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.关于下列两个命题的正确的判断是( )
甲：
乙：
A. 甲乙都不成立 B. 仅甲成立 C. 仅乙成立 D. 甲乙都成立
7.某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时，猜对的概率为，那么他答对题目的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中的假命题为( )
A. 集合与集合是同一个集合
B. “为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件
C. 对于任何两个集合，，恒成立
D. ，，则
10.已知，都为正数，且，则( )
A. B.
C. D.
11.假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布单位：，生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量服从正态密度函数，其中，则附：随机变量，则，，
A. 正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为
B. 生产线乙的食盐质量
C. 曲线的峰值为
D. 生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，则该判断是合理的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为______．
13.函数是定义在上的严格减函数，对任意、，满足，且，则不等式的解集为______．
14.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动个单位，且第次向左跳动若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为记第次向左跳动的概率为，则 ______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求的最小值；
求的最大值．
16.本小题分
乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力某校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了名学生，统计得到如下列联表．
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生
女生
总计
先完成列联表，依据的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？
为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取人参加乒乓球动动集训，再从这人中随机抽取人参加乒乓球比赛，记随机变量为这人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：
其中．
17.本小题分
能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某市近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份
汽车购买万辆
根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱；
求关于的线性回归方程，并预测该市年新能源汽车购买辆数．
参考公式：，，．
参考数值：．
18.本小题分
已知函数，其中．
若是定义在上的奇函数．求的值；判断在内的单调性，并用定义证明；
当时，证明：．
19.本小题分
已知函数与的图象关于直线对称．
若函数是偶函数，求实数的值；
若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；
已知实数，满足，，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
因为，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为．
16.解：由题可得，列联表如下：
性别 乒乓球运动 总计
喜欢 不喜欢
男生
女生
总计
零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，
则，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联；
喜欢乒乓球运动中，男生人，女生人，则男生人数与女生的人数之比为：，
所以抽取的人中，男生抽人，女生抽人，
所以可能取，，，
则，
，
，
所以的分布列为：
则．
17.解：由表中数据可知，，
，
，
，，
故，
所以与线性相关性很强；
由，
，
所以关于的线性回归方程是，
当时，
万辆，
故该市年新能源汽车购买辆数约为万辆．
18.解：因为为上的奇函数，所以，解得；
在上单调递增，证明如下：
设，则，
因为，所以，，，
所以在上单调递增．
证明：当，不等式可整理为，
证明成立即证明成立，
因为，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，
则，
当时，；
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，；
所以，即，即．
19.解：因为与的图象关于直线对称，
所以，
所以，
所以，
因为为偶函数，所以，即，
所以，解得．
若关于的方程有实数解，则有实数解，
即有实数解，
整理得有实数解，
当时，有，解得，符合题意；
当时，，解得，且，
综上，实数的取值范围为．
由，知，即，所以，所以，
又，所以，且，，
设，，
取，则，，所以，
所以，即，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，即，
所以．
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