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2024-2025学年福建省三明市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为( )
A. B. C. D.
3.已知且，那么是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列函数中，既是偶函数又在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
5.由，，，，组成的无重复数字的位数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，当时，，已知函数，若，，不等式成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量将平均减少个单位
B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于
C. 独立性检验中，根据分类变量与的成对样本数据计算得到，推断零假设不成立，即认为与有关联，此推断犯错误的概率不大于
D. 用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差
10.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，，都有，当时，恒成立，则( )
A.
B. 方程所有根的和为
C. 在上是单调函数
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是______用数字作答．
13.数术记遗记述了我国古代十余种算法甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有______种
14.已知函数的定义域为，若，，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是上的“三角形函数”已知函数是上的“三角形函数”，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在高考志愿模拟填报中，学生甲对个专业感兴趣，其中包括个人工智能类、个电子信息类和个新能源类专业他计划从这个专业中随机选择个进行填报，每个专业被选中的可能性相同．
求甲至少填报个电子信息类专业的概率；
若甲填报人工智能类专业的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知函数，且．
若，求函数在点处的切线方程；
已知，若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
17.本小题分
某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：
年份
年份代码
报考人数
经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程，并预测年的报考人数；
每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的；低于分的不予录取请预测年报考该专业考生中被录取的人数最后结果四舍五入，保留整数．
参考数据：．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
若随机变量，则，，．
18.本小题分
已知函数，．
若，求函数的极值；
若，且不等式在上恒成立，求的最小值．
19.本小题分
某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试，已知通过测试的概率为，未通过测试的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片，已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试的概率为．
求结果用表示；
切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有请结合该定理解决下列两个问题：
若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为，现质量检测部门随机抽取了该厂生产的枚芯片，经检测有枚合格，请说明该厂商的说法是否可信注：当随机事件发生的概率小于时，可称事件为小概率事件；
(ⅱ)为估计，工厂随机抽取枚合格芯片，其中枚为通过测试，记若要使得总能不超过，试估计最小样本量
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.甲选个专业的方法数是，至少填报个电子信息类专业方法数为，
因此甲至少填报个电子信息类专业的概率为；
的可能值为，，，，
，，，，
．
16.函数，且，
因为，所以，故，
所以．
因为，，
所以函数在点处的切线方程为：
，即．
因为，
由，所以，
等价于在区间上有解，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
所以实数的取值范围为：．
17.因为，，
．
所以，．
所以．
当时，，即预测年的报考人数为；
因为
，
，
人．
18.当时，函数，．
因此导函数，．
由；由，
因此在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，有极大值，为；无极小值．
由于，且在上恒成立．
因此在上恒成立．
即在上恒成立．
设函数，．
那么导函数．
由；由，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
因此是函数的最小值，且．
因此在上恒成立．所以．
因此在上恒成立．
所以．
又，所以的最小值为．
19.事件“芯片通过测试Ⅰ”，事件“芯片通过测试Ⅱ”，则事件“表示芯片通过测试”，
则，，．
根据条件概率的公式可得；
若，则．
用随机变量表示合格芯片的个数，易知满足二项分布，
根据二项分布的期望和方差公式可得：，，
当时，，
根据切比雪夫不等式：．
所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信．
(ⅱ)因为，所以，．
由切比雪夫不等式：．
因为当时取等号．
所以要使，即．
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