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2024-2025学年四川省成都市五城区高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.函数，的零点个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，，是上的两点，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则四边形是矩形
C. 若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量
D. 若平面内两个非零向量，满足，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底
6.在平面四边形中，且当变化时，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的对角线上，其中球的半径为，则球的半径为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于对称
C. 函数在的最小值为
D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数是奇函数
10.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A. 若，，对任意的非零实数和，则
B. 若，，则向量，的夹角为钝角
C. 若，，且和的夹角为，则
D. 若点，，，在同一平面内，且，则，，三点共线
11.如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，则下列说法正确的是( )
A. 该圆台轴截面面积为
B. 该圆台的表面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为______．
13.在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
14.如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，若点是线段上的定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若是纯虚数，求的值；
在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中是原点，且，求．
16.本小题分
在中，内角、，所对的边分别为，，，且，，．
求；
求的面积．
17.本小题分
如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接．
试用和表示；
若，，．
求；
求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，．
求证：平面；
若．
证明：；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
若平面内的数轴，相交所成角为，则这两条数轴构成的坐标系叫做“半斜坐标系”设，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则有序数对用斜括号表示有序数对叫做向量的“半斜坐标”已知在半斜坐标系内的，点在所在的直线上，且．
求；
若，且其中，．
求向量与的夹角；
当取得最小值时，求向量的半斜坐标．
参考答案
1.
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13.
14.
15.由题得，，
所以，
因为是纯虚数，所以且，即；
由题意，，
因为，所以，
所以，解得或．
所以或．
16.因为，且，
所以，
根据正弦定理得，即，
所以，
又由题知为钝角，故，所以；
由余弦定理，得，
即，整理得，
解得或舍去，
故的面积．
17.在四边形中，，
在四边形中，，
又因为，分别是的中点，
所以，
所以，
即，又因为，
所以，
所以；
由题知，
又由知，，
因此，
所以，
因为，
所以，
，
所以．
18.解：证明：设与相交于点，连接，
因为，，，
所以≌．
所以，
又在中，是的中点，所以，
在正方形中，，
又因为平面，平面，且，
所以平面；
证明：在中，，，
不妨设，则，
由余弦定理得，
所以，
又在中，，
故由勾股定理，得，
又在中，，
所以，所以，
故在中，可得，
所以，
由知，≌，
过作交于，
由≌得，
所以即为二面角的平面角，
在中，因为，
所以，
所以，
所以，在直角中，．
同理可得，
又，
在中，．
故二面角的余弦值为．
19.由，
则，
又，
则，
所以；
由，则，所以，
即，
即，
整理得，
又，联立解得或舍，，
所以，则，
则
，又
所以向量与的夹角为；
设，
则，
，
所以，
，
因为，，三点共线，则存在实数，使得，
即，所以，
代入式，可得，
当时有最小值，此时，
所以向量的半斜坐标为．
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