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2024-2025学年安徽省安庆市重点中学高二（下）联考
数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
2.展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.函数的极小值为( )
A. B. C. D.
4.已知且，的值为( )
A. B. C. D.
5.从，，，中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为( )
A. B. C. D.
6.某次考试成绩服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取名考生，至少有名考生的成绩高于的概率为( )
A. B. C. D.
7.若不等式为自然对数的底数对任意实数恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于，，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量和满足，且，则
B. 若随机变量，，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则
10.已知函数，则( )
A. 函数的单调减区间为 B. 函数的单调增区间为
C. 函数的极小值点为 D. 函数的最大值为
11.已知点是抛物线：上的一点，过的焦点的两条互相垂直的直线，分别与交于点，和点，，其中点，均在轴的上方，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则直线的倾斜角为
C. 为定值
D. 四边形的周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，，则 ．
13.曲线在点处的切线方程为 ．
14.已知抛物线：的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于，两点，且，则的面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
求的值及系数最大的项；
求展开式中有理项的系数之和用数字作答．
16.本小题分
已知函数，．
求的单调区间；
若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若，求证：在上单调递减；
若在上恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布其中，近似为样本平均数，近似为样本方差已知的近似值为，的近似值为，以样本估计总体．
若笔试成绩高于进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望．
现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为设这名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若，则：；；．
19.本小题分
已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为．
求椭圆的方程；
设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.展开式的通项为，
由题可得，
则，解得，所以，
设展开式中第项的系数最大，其系数为，
则满足，解得，
因为，所以或时系数最大，
当时，；当时，．
由知：展开式的通项为，
令且，，，，，，可得，，，且对应的是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
故展开式中有理项的系数之和为．
16.函数定义域为，，
令得，令得，
所以的增区间为，减区间为．
因为，所以，
即．
令，那么，
因为在单调递增且．
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
故当时，．
所以．
17.证明：若，那么函数，因此导函数，
令函数，因此导函数，
因此当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即，因此函数在上单调递减；
若在上恒成立，即为在上恒成立，
令函数
因此导函数，
由于，当且仅当时等号成立，
当时，导函数，因此函数在上单调递减，
因此，符合题意；
当时，令导函数，因此，设方程的解为，
由于在区间上单调递增，因此函数在上单调递减，
则当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
又，所以时，，不符合题意；
当时，，故在上单调递增，所以，不符合题意．
综上，的取值范围为．
18.由，可得，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取人，该学生笔试成绩高于的概率为
所以随机变量服从二项分布，故随机变量的期望为：；
根据题目的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
因此的分布列为：
因此．
19.因为椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为．
所以，且，
解得，
所以椭圆的方程为；
证明：由题意，可设直线的方程为，，，
则，
联立方程组，
消去得方程：，
，
所以，
所以直线的方程为：，
令，则
，
故直线过定点．
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