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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
3.若，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则( )
A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件
C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件
6.须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧面积为，则该正六棱台的体积为( )
A. B.
C. D.
7.如图，已知平行四边形中，，，，，分别是，的中点，是上一点，且，则( )
A. B.
C. D.
8.已知正四面体的棱长为，球为其内切球，球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有( )
A. 若，为互斥事件，则
B. 若，为互斥事件，则
C. 若，相互独立，则
D. 若，相互独立，则
10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若是锐角三角形，则
C. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个
D. 若，则是钝角三角形
11.已知正方体的棱长为，为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是( )
A. 若为线段上的动点，则存在点使得直线与所成角为
B. 若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹的长度为
C. 若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为
D. 若为侧面上的动点，则存在点满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数的值为______．
13.在对某中学高三年级学生体重单位：的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部
分学生进行测量，已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，，则估计该校高三年级学生体重的方差为______．
14.已知复数，满足，是虚数单位，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示．
求直方图中的值及样本中位数；
现用分层抽样的方法从区间，，抽取人，写出从这人中随机抽取人的样本空间，并求这人成绩至少一人成绩在的概率．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．
求；
若为的内心，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点，分别为，的中点．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，．
证明：平面；
求到平面的距离；
在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知三棱锥的体积为，在中，，是内一点，，记．
若，，，到平面的距离为，求；
若是的重心，且对任意，，，，均有．
求的最大值；
当最大时，个分别由个实数组成的元数组满足对任意，，，，，，，，均有，且对任意，，均有，若，求的值．
参考公式：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意，，解得．
设中位数为，因为，
，所以，
则，解得．
由题意，区间，，的频率比为：：：：，
所以若从区间，，抽取人，
则从区间内抽取人，设为，从区间内抽取人，设为，，从区间内抽取人，设为，，
记“从这人中随机抽取人，成绩至少一人成绩在”为事件，
基本事件有，，共个，
事件包含的基本事件有，共个，
利用古典概型概率公式可知．
16.若，则，
因为中，，所以，即，
可得，结合，可知，
在中，由余弦定理得，可得；
因为的面积，
所以的内切圆半径，可得．
17.证明：在中，点，分别为，的中点，
所以，因为平面，而不在平面内，
所以平面．
因为，，所以，
因为为等边三角形，所以，
所以，又，所以．
又因为平面，而不在平面内，
所以平面．
又，，平面，
所以平面平面．
取的中点，连接，．
因为，所以，．
因为，平面平面，
所以二面角的平面角为．
因为，所以，，
所以．
根据余弦定理得．
所以二面角的余弦值为．
18.证明：
因为，，
所以，所以，
在中，，，，
根据余弦定理，
所以有，所以，又，，平面，
所以平面；
因为，，
根据勾股定理，
在中，，
根据余弦定理，
所以，
所以，，
设到平面的距离为，
根据等体积法得，解得，
所以到平面的距离为；
因为平面，所以如图建立以点为坐标原点的空间直角坐标系，
由，，
则，因为，所以，
因为，所以，
即有，，
设，则，
即有，
设平面的法向量为，
则，
令则，即，
由直线与平面所成角的正弦值为，
可得：．
化简得：，因为，所以．
19.如图，在中，．
因为，，所以，
所以在中，，
所以在中，，
所以，所以的面积为，
又因为到平面的距离为
所以，
所以．
因为是的重心，
所以的面积为，
在中，由余弦定理得，，
即，
由基本不等式知，，
所以，
故，等号当且仅当时成立，
又由是的重心知，，
所以，
所以，
所以，
所以，等号当且仅当，
且平面时成立，所以的最大值为；
由知，，所以对任意，，，，，，，，
均有，
故，因为，
则
所以，
由于任意，，均有，
所以，
所以．
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