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2024-2025学年安徽省宣城市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为和，则该四棱台的体积是( )
A. B. C. D.
6.等差数列前项的和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
7.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，且对，都有，当时，，则下列结论正确的是( )
A. 是以为周期的函数
B.
C. 函数有个零点
D. 当时，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知点是抛物线的焦点，，是过点的弦且，直线的斜率为，，且，两点在第一象限，则( )
A.
B. 四边形面积的最小值为
C.
D. 若，则直线的斜率为
11.已知函数，则( )
A. 当时，的对称中心为
B. 若函数在上递增，则
C. 函数的图像过定点
D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.已知是各项均为正数的等比数列，，，则 ______．
14.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
单位：只
药物 疾病 合计
未患病 患病
服用
未服用
总计
依据的独立性检验，能否认为药物有效？
为进一步研究该药物对预防此疾病的效果，现从服用该药物的只动物其中未患病只，患病只中随机抽取只，用随机变量表示未患病的动物只数，求随机变量的分布列与数学期望．
参考公式，其中．
16.本小题分
已知的三个角，，的对边分别为，，，且．
求；
的边上的高为，，求的周长．
17.本小题分
在四棱锥中，平面，，，，
求；
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．
求椭圆的标准方程；
过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线与相交于点．
证明：点在定直线上；
求的最大值．
19.本小题分
已知且，函数．
设，，为数列的前项和，当时，求；
当时，证明：；
当且时，讨论函数的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.零假设为：该疾病与服用药物无关，
则，
根据小概率值独立性检验，我们推断不成立，
即认为该疾病与服用药物有关联，此推断犯错误的概率不大于；
由题意知，随机变量的所有可能取值为，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
由数学期望公式得．
16.因为，
所以，因为，故，
所以，
又因为，，所以，即；
由正弦定理得，，不妨设，则，
所以，解得，
由，
得，解得，
所以，即的周长为．
17.因为，，，，
在中，由余弦定理可得
，
在中，由余弦定理可得
，
由可得，可得，
而，可得；
证明：由可得，可得，
即，
又因为平面，平面，
所以，而，
所以平面，
因为平面，
所以；
解：以点为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
可得，，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
可得，．
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.由题意知，，，
所以，即，
又，所以，所以椭圆的标准方程为；
证明：由于直线过点且斜率不为，所以可设直线的方程为，
由，得，
设，，则，
所以，
因为椭圆的左，右顶点分别为，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
所以，
解得，所以点在定直线上；
(ⅱ)设直线，的倾斜角分别为，，则，
由知，所以，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为．
19.当时，，
则；
证明：由题意知，的定义域为，
当时，，，
令，则，
当时，，
当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，于是，
所以，函数在上单调递增，又，
因此时，，当时，，
所以当时，；
若，则函数在上单调递增，且，
所以函数有且仅有一个零点；
若，当时，，
当时，，
由知：当时，，
当时，，且，
所以函数只有一个零点，
综上所述：当且时，函数的零点个数为个．
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