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2024-2025学年重庆一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数在其定义域上的导函数为，当时，是“单调递增”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过红楼梦的占，阅读过三国演义的占，阅读过红楼梦或三国演义的占，现从阅读过三国演义的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过红楼梦的概率为( )
A. B. C. D.
5.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线的左顶点为，若圆：交的一条渐近线于，两点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.有一个开盲盒游戏，共有个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有个玩偶，共有款玩偶个，款玩偶个，款玩偶个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的有( )
A. 若，则
B. 若且，则
C. 一组数据，，，，，的第百分位数是
D. 变量与的回归方程为，若观测数据中均值为，则变量均值为
10.掷次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有( )
A. 和互斥 B. 和独立 C. D.
11.已知函数，则( )
A. 当时，既有极大值，又有极小值
B. 若在处取到极大值，则实数的取值范围为
C. 时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为
D. 不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.如图所示，利用一堵长，高的旧墙建造一个无盖的长方体仓库由于空间限制，仓库的宽度固定为，已知仓库三个侧面的建造成本为元，仓库底面的建造成本为元整个仓库的建造成本预算为元，假设成本预算恰好用完则仓库的储物量既容积的最大值为______．
14.已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
部分胎儿在超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失不合并其他超声异常，有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常某儿科医院统计了名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：
是否合并其他超声异常
染色体是否异常 不合并 合并 合计
正常
异常
合计
根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系；
现有例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望．
附：
16.本小题分
已知函数．
若曲线与轴相切，求实数的取值；
讨论函数的单调区间．
17.本小题分
椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上动点，的值域为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆的上下顶点分别为，，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若，，，四点构成的四边形面积为，求直线的斜率．
18.本小题分
已知函数．
若在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值；
若存在两个不同的极值点，，，且，求实数的取值范围．
19.本小题分
随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品每家店仅售一款假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略：
策略：直接购买第一家店里的文创产品；
策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品．
设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为．
若，求的值并比较策略和的优劣；
设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为，
写出的值和表达式；
已知有款文创产品，求使最大的值，
参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设零假设：合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关，
由题知，
故零假设不成立，
故根据小概率值的独立性检验，胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关；
由列联表中数据得鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为，
易得，，，，，且满足，
故，，，，，
则的分布列如下：
．
16.设切点为，
则切线斜率为，
因为曲线与轴相切，则，
解得或，
当时，切点为，即，解得，
当时，切点为，即，解得，
综上，或；
，
令，得或．
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，，由，得或；
由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
当时，，由，得或；
由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
17.设，则，
故，，
又，
故，
由题可得，，，
故，
故椭圆的标准方程为．
若直线的斜率为，则，不满足条件，
斜率不为时
设直线的方程为，，，
，直线的斜率为，
联立，
消去整理得，
则，，，
根据点和点所在位置，如图：
，可得，
又四边形的面积为，
又，即，
故，
所以直线的斜率为．
18.由得：，
因为在定义域内单调递增，故在恒成立，且的解不连续，
则，所以，的范围是；
当时，不等式可化为变形为，
同构函数，求导得，
所以在上是增函数，
而原不等式可化为，
根据单调性可得：，，
再构造，则，，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，即满足不等式成立的，所以的最小值为；
因为存在两个不同的极值点，，，
所以由，
可得：，，
因为，而的对称轴是，
所以可得，根据对称性可得另一个零点，此时有，故，
又由，可得，
而，
令，
则，
，，即，，
则，
即在区间上单调递减，
所以有，
即，
所以实数取值范围．
19.由于，假设小明对三款产品的喜爱程度分别为：高、中、低，
其排序共有种情况，采用策略后购买的结果列表如下：
参考组 候选组 结果
第款 第款 第款 购买款式
高 中 低 低
高 低 中 中
中 高 低 高
低 高 中 高
中 低 高 高
低 中 高 中
故小明购买到最喜欢产品的情况有种，故，
又易知，故策略更优；
显然，，
表示在小明最喜爱文创产品位于第个店里的情况下，最终购买到最喜爱文创产品的概率，
当时，即小明最喜爱文创产品位于参考组时，不可能购买到最喜爱文创产品，故；
当时，小明一定能购买到最喜爱文创产品，即；
当时，小明要购买到最喜爱文创产品，
需要前款产品中喜爱度最高的产品在参考组中，故；
综上，；
由全概率公式得：
，
由题得，故下标满足，
由知，，这里，
要使得最大，需要满足，
即有，
故，
故，
由于，故，
，
故当时，，即有，
当时，，即有，
故时最大．
第1页，共1页

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