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2024-2025学年云南省玉溪市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4.圆锥的底面半径为，圆锥的高是，则其侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为( )
A.
B.
C.
D.
6.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则个孩子都是男孩的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，且与的夹角为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则( )
A. 定义域为 B. 是奇函数
C. 在单调递增 D. 在单调递减
10.任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则( )
A. B. C. D.
11.如图，三棱台中，平面平面，，，则( )
A. 平面
B.
C.
D. 与面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若集合有个真子集，则实数的取值范围为______．
13.已知，，则 ______．
14.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了名来欣赏蓝花楹的游客，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：
求样本数据的第百分位数；
估计这名游客的平均年龄同一组中的数据用该组中的中点值代表．
16.本小题分
已知函数．
求；
证明：函数的图象关于点对称；
当时，求函数的所有零点的和．
17.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知是奇函数．
求的值及的定义域；
求不等式的解集．
19.本小题分
设锐角内部的一点满足，且．
证明：；
求角；
若，，，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.由频率分布直方图可知，，解得，
且，，
所以第百分位数在组内，设为，
则有：，解得．
所以样本数据的第百分位数为．
设名游客的平均年龄为，由图可知，
，
故这名游客的平均年龄约为岁．
16.已知函数，则；
由已知，，
所以函数的图象关于点对称；
令，即，
所以或，，解得或，
因为，则，，，，
所以．
17.证明：因为，
又平面，平面，
所以平面．
如图，在正方体中，平面，
又平面，所以
因为为的中点，所以
又，平面，平面，
所以平面又平面，所以．
又，
所以为二面角的平面角．
设正方体的棱长为，
则，
，
所以，
所以二面角的正弦值为．
18.因为是奇函数，所以恒成立，
所以，即，
所以，即，因为，
所以，，，解得，
所以函数的定义域为．
函数，
因在上单调递增，为增函数，
由复合函数定义可得在上单调递增，
因为，
所以，
所以，所以，
所以不等式的解集为．
19.证明：如图所示，锐角内部的一点满足，
则为的外接圆的圆心，
因为，
又，
所以；
解：设的外接圆的半径为，则，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
整理得，
又，则，即，
因为，所以，
则或，即或；
解：因为，由可得，，
由正弦定理可得，，
易知，
所以，
则，当且仅当、、三点共线时取得最大值，
所以．
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