资源简介

2024-2025学年福建省福州三中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“关于的不等式有实数解”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.的展开式的第项的系数是( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，都是锐角，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称当时，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是锐角三角形，内角，，所对应的边分别为，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为一次随机试验中的两个事件若，，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，点，是函数的图象与直线相邻的两个交点，且，，则( )
A.
B.
C. 函数在上单调递减
D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线：就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有( )
A. 当时，曲线与轴有个交点
B. 曲线图像关于对称
C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为
D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最大值为______．
13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若，则 ______．
14.已知甲袋中有个白球和个黑球，乙袋中有个白球，这个球除颜色外无其他差异现从甲、乙两袋中各取出个球，交换后再放入甲、乙两袋中即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列．
求数列的通项公式；
若数列满足，为数列的前项和，求．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，为的角平分线，且，求的面积．
17.本小题分
“英才计划”最早开始于年，由中国科协、教育部共同组织实施，到年已经培养了多名具有创新潜质的优秀中学生为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动．
若参加数学学科夏令营的名中学生中恰有人来自中学，从这名中学生中选取名，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望；
在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．
求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率；
当时，求的最大值．
18.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线为，且过点．
求的方程；
已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点．
若和的面积的比值为，求直线的方程；
若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中，．
讨论的单调性；
若函数．
证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：数列的前项和为，，且数列是首项为，公差为的等差数列，
可得，即，
当时，，对也成立，
所以，；
，
可得．
16.由已知以及正弦定理得，，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以；
因为为的平分线，则，
因为，
则，
即，化简得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得或舍去，
所以的面积．
17.随机变量服从超几何分布，其中，，，
所以，，，，，
所以；
因为甲、乙两人每次答题相互独立，
设甲答对题数为，则，乙答对题数为，则，
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则，
；
因为，所以，
由，，又，所以，
当且仅当时取等号，
设，所以，
所当时，有最大值，
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为．
18.设双曲线方程为，
因为双曲线的一条渐近线为，且过点．
所以，
解得，
则的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
由韦达定理得，
解得，
因为和的面积的比值为，
所以，
所以，
此时，，
所以．，
解得，满足，
则，
故直线的方程为或；
依题意得，
所以直线的斜率，
直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离为，
可得，
因为，
所以，
因为，
所以．
所以直线与圆相切．
19.的定义域为，
由，得，
当时，则当时，，单调递增；
则当时，，单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上，当时在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
证明：由得，
设点和点，不妨设，
同理曲线在点处的切线方程为，即；
同理曲线在点处的切线方程为，即，
假设与重合，则，
化简得，
两式消去，得，则，
令，由，
所以在上单调递增，所以，即无解，
所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合．
当时，先解决对于，不等式恒成立，
令，，则在上恒成立，
由，解得．
下面证明当时，在上恒成立．
则当时，，令，
则，
则当时，由，，则，
则在上单调递增，所以；
当时，令，
则则在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以成立，
所以对于，不等式恒成立时，实数的取值范围为．
所以，使得成立时，的取值范围为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑