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2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数为奇函数，则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.为研究某种植物的生长高度单位：与光照时间单位：小时之间的关系，研究人员随机测量了株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为( )
A. B. C. D.
7.学校放三天假，甲、乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足，则( )
A. B.
C. 函数有个零点 D. 函数有个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 一组数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则
B. 若随机变量，满足，则
C. 若随机变量，，则
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于
10.甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有个红球，个白球，乙盒子中有个红球，个白球先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数满足，，则( )
A.
B. 对于任意，有三个零点
C. 对于任意，有两个极值点
D. 存在，使得点为曲线对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.已知幂函数，则 ______．
14.已知实数，满足且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数且在上的最大值为．
求的值；
当时，，求实数的取值范围．
16.本小题分
甲、乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用已知甲通过初试和复试的概率分别为，乙通过初试和复试的概率均为，两人是否通过面试相互独立．
求甲、乙两人至少有人通过初试且没有通过复试的概率；
设两人中被录用的人数为，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
已知函数，．
求曲线在处的切线方程；
若，求的取值范围．
18.本小题分
年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点参与表演的机器人由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控、物流运输、安防与救援等场景现统计出机器人在某地区年月至月的销售量，数据如表：
月份
销售量
用最小二乘法得到的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差．
求的值结果精确到；
求的值；
现从这个月份中随机有放回地抽取次，每次抽取个月份，设抽取到销售量大于的月份次数为，求的分布列和方差．
附：回归系数，相关系数，．
19.本小题分
为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出年轻态”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品奖品为一瓶洗发水，每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为．
若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为的概率的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，在上单调递减，
此时，不满足题意；
当时，在上单调递增，
此时，
解得；
令，
因为，所以，
所以在上恒成立，
令，，
易知在上为增函数，
所以，
所以实数的取值范围为．
16.设事件表示“甲、乙两人至少有人通过初试且没有通过复试”，
甲通过初试且没有通过复试的概率为，
乙通过初试且没有通过复试的概率为，
所以；
由题意知，的所有可能取值为，，，
甲被录用的概率为，
乙被录用的概率为，
所以，，，
则的分布列为：
所以．
17.由于，导函数，，
因此函数在处的切线为，即．
根据可知，，，
所以在上恒成立，
设函数，那么导函数，
当时，，在单调递增，
当时，，在上单调递减，
因此时，函数取得最小值为，
根据题意知，即，因此的取值范围为．
18.根据题意可知，，
由，得，
，
，
；
回归直线过样本中心点，且，，
即，解得；
这个月中销量大于的月份有个，
每次抽取到销量大于的月份的概率为，
，
，
，
的分布列为
，
根据二项分布的方差公式，．
19.解：由题意随机变量的可能值为，，，，
，．，
的分布列为：
；
由题意两人总共套中的奖品个数为的概率为：
，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以两人总共套中的奖品个数为的概率的最大值为．
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