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2024-2025学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从，若，则( )
A. B. C. D.
5.某学校寒假期间安排名教师与名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少名教师与名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为将这两批产品混合，从混合产品中任取件，则这件产品是次品的概率为( )
A. B. C. D.
7.名男生和名女生随机站成一排，恰有名女生相邻，则不同的排法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域均为的函数，的导函数分别为，，且，，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数有个极值点，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
11.袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中有个红球和个白球，每次随机取个，有放回地取球，则下列说法正确的是( )
A. 若规定摸到次红球即停止取球，则恰好取次停止取球的概率为
B. 若进行了次取球，记为取到红球的次数，则
C. 若规定摸到次红球即停止取球，则在恰好取次停止取球的条件下，第次摸到红球的概率为
D. 若进行了次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是函数的极大值点，则 ______．
13.已知函数，则不等式的解集为______．
14.若不等式对恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：，，：或．
若命题是真命题，求实数的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知幂函数为偶函数，且函数满足．
求函数和的解析式；
对任意实数恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求的单调区间和极值；
证明：．
18.本小题分
如图，四边形为菱形，，，平面平面，，，，点在线段上不包含端点．
求证：；
是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间上都有导数，则在区间上存在实数，使得，这就是拉格朗日中值定理，其中称为在区间上的“拉格朗日中值”已知函数，，．
利用拉格朗日中值定理求函数在上的“拉格朗日中值”；
利用拉格朗日中值定理证明：函数上任意两点连线的斜率不小于；
针对函数，请证明拉格朗日中值定理成立．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根．
当时，方程化为，解集为空集，符合题意；
当时，，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
根据的结论，可知：若命题是真命题，则，．
若是的必要不充分条件，
则设或，，，，
即，解得，所以实数的取值范围是．
16.解：由为幂函数，
得，解得或，
因为为偶函数，
所以，
则；
由，
可得，
令，
则，
所以；
由，
可得，，
故，
令，，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
所以的取值范围为．
17.根据题意知导函数，所以，
又在点处的切线与垂直，
因此，解得，
因此函数，导函数，
令，解得，令，解得，
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
又，所以无极大值，极小值为．
证明：要证，即证，即证，
当时，，，不等式显然成立；
当时，令函数，因此导函数，，
令函数，因此导函数，
令导函数，因此导函数，
因此导函数在上单调递增，
又，，因此存在，使得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，所以，所以原命题得证．
18.解：证明：连接，，交于点，连接，
四边形为菱形，，，平面平面，，，，
，
以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，；
假设存在点，使得二面角的余弦值为，
平面的法向量，
，，，，
设，，，则，
解得，，，，
，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
二面角的余弦值为，
，
整理得，解得或，
，，
存在点，使得二面角的余弦值为，．
19.，，，
由拉格朗日中值定理，得在区间上存在实数，使得，
即，解得或，
因为，
所以，
所以函数在上的“拉格朗日中值”为．
证明：由，
在的图像上任取两点，，，
根据拉格朗日中值定理，得存在，使得，
因为，
当且仅当时两个等号同时成立，
所以的最小值为，
所以，
所以函数上任意两点的连线斜率不小于．
证明：设
所以在区间上单调递减，
所以在区间上至多有个零点，
因为，
，
令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
即时，，
由，得，
所以，
又，即，所以，
由，得，所以，即，
又，即，所以，
由函数的零点存在定义，可知在区级上有零点，即针对函数，拉格朗日定理成立．
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