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2024-2025学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.过圆：外的点作的一条切线，切点为，则( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4.记为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.函数在处的切线与直线平行，则实数( )
A. B. C. D.
6.某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为( )
附：，，．
A. B. C. D.
7.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
8.设正整数，其中，记，则下列说法错误的是( )
A. ．
B. ．
C. ．
D. 若且，则符合条件的有个．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知数列满足，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则是等差数列
B. 若，，则是等差数列
C. 若，，则是等比数列
D. 若，，则是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为______．
13.数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，剔除一个异常点后，得到新的回归直线必过点______．
14.已知为双曲线右支上一点，，为左右焦点，直线交轴于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，平面，四边形为矩形，，，．
求证：平面；
求平面与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求的方程；
若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值．
17.本小题分
已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
设，当时，求函数的最大值；
讨论函数与函数的图象的交点个数．
19.本小题分
我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况微分恒等式法的一个应用案例如下：
关于的恒等式满足，
对等式两边求导可得．
移项得．
某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量．
若，，求的概率；
求，，的概率，并写出随机变量的分布列；
用微分恒等式法求随机变量的数学期望，并据此估计当，时每位参与该项活动的师生的积分．
参考答案
1.
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13.
14.
15.证明：四边形为矩形，．
又平面，平面，平面．
又，平面，平面，
平面．
又，，平面，
平面平面．
又平面，
平面．
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
．
设是平面的一个法向量，
则，则，即，
令，解得，
平面的一个法向量
又是平面的一个法向量，
，
平面与平面所成角的正弦值为．
16.解：因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，
解得，
故E的方程为；
设，，，则直线的方程为，
与联立，
得，
则，
且，
所以
，
故为定值．
17.数列满足：，，
故是公差为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得；
又，，成等差数列，故，
设的公比为，其中，则，解得或
当时，，此时，为递减数列，舍去；
当时，，此时，为递增数列，满足要求．
综上，，；
由，
．
18.若，那么函数，
因此导函数，那么，
又因为，
因此在点处的切线方程是，
即．
函数，
的定义域为，
导函数，当时，，
令，得，
令，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的最大值为．
联立得，
所以，
结合第二问可知．
那么“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”．
当时，无零点．
当时，函数的最大值为．
若，即，则只有一个零点，
若，即，则无零点，
若，即，则，又，
令函数，那么导函数且，
根据导函数，得；根据导函数，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数无最小值，有最大值，
因此函数，因此，
根据第二问知在区间上单调递增，因此函数在上有唯一零点．
令函数，
那么导函数，且，
由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
因此无最大值，有最小值，
因此，
因此和，
因此，
又因为在上单调递减，
因此函数在上有唯一零点．
当时，由上得函数，于是，而，
因此函数，即无零点．
综上，当或时，函数与函数的图象无交点；
当时，函数与函数的图象有个交点；
当时，函数与函数的图象有个交点．
19.若，则表示总共套了次，其中前次套中，第次没有套中，
；
表示总共套了次，其中前次均没有套中，
，
表示总共套了次，其中前次中套中了次，第次没有套中，
，
表示总共套了次，其中前次中套中了次，第次没有套中，
，
所以分布列为：
由可得，，
由于分布列的概率和为，所以，
两边求导得：
，
求和可得，
移项得，
变形得，
，
代入上式得．
当，时，，
所以估计每位参与该项活动的师生的积分为．
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