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2024-2025学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.从，，，，这五个数字中选出个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
4.直线与圆交于，两点，则( )
A. B. C. D.
5.设数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
6.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.曲线与曲线和分别交于，两点，设在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 随机变量，则
B. 设随机变量服从正态分布，则
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据如表数据可以有的把握判断与有关
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的单调减区间为
B. 的极小值为
C. 在上的最大值为
D. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是
11.已知是抛物线：的焦点，，是上的两点，为坐标原点，则( )
A. 若的纵坐标为，则
B. 若直线过点，则的最小值为
C. 若，则直线恒过定点
D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中项的系数为______．
13.函数在处切线的斜率是______．
14.对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为，，，则数列的通项公式为______，数列的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，两地的距离是假设汽油的价格是元升，以其中的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元设这次行车的总费用为元．
求出关于的函数关系式；
求此次行车最经济的车速．
16.本小题分
食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行两轮各项指标的综合检测，只有两轮检测都合格，此箱蔬菜才能在该超市销售已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立．
求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
现有箱这种蔬菜，设这箱蔬菜能在该超市销售的箱量为，求的分布列和数学期望；
如果这种蔬菜能在该超市销售，每箱可获利元，若不能在该超市售出，则每箱亏损元，求箱蔬菜总收益的数学期望．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：；
求二面角的余弦值；
求点到直线的距离．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且．
求的方程；
设过点的直线与交于，两点不与，两点重合．
(ⅰ)若的面积为，求的方程；
(ⅱ)若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当日仅当或时等号成立．
(ⅰ)证明：数列为递增数列；
(ⅱ)证明：时，．
参考答案
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14.
15.由题意知，当速度为时，用时，
使用油量，
总费用；
已知，
则，
令，
即，，
解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，
所以最经济的车速为．
16.设“第一轮检测合格”为事件，“第二轮检测合格”为事件，
由题意，，，
各轮检测是否合格相互独立，
因此两轮检测都合格的概率为，
故每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为．
由题意，的可能取值为，，，，且，
，
，
，
，
得的分布列为：
．
设箱蔬菜总收益为，由题意，的可能取值为，，
，
，
得的分布列为：
，
故箱蔬菜总收益的数学期望．
17.证明：由题知，平面，，
所以、、两两垂直，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，，，，
所以，，
故，
所以；
由分析知，，，，
又，即，
所以，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
由题知，是平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
由知，，且，
在上的投影向量的模长为：．
计算．
根据点到直线距离公式，
即点到直线的距离为．
18.因为椭圆的右焦点为，
所以，
因为，
所以，
解得，
则，
故椭圆的方程为；
易知直线不与轴重合，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
整理得，
解得或舍去，
所以，
则直线的方程为，即或；
证明：易知，，
所以直线，
直线，
联立，
整理得，
所以，
即，
解得．
则直线与直线的交点在定直线上．
19.由，
可得时，，
当时，由，可得，
相减可得，对也成立，
所以；
证明：令，
则，
可得，
因，则，
则，
则，所以数列为递增数列；
因数列为递增数列，
则当时，，
则，即，
则，
即，则．
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