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2024-2025学年青海省西宁市大通县高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营小张需要乘坐次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座张，一等座张，商务座张，则小张的购票方案种数为( )
A. B. C. D.
2.某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为：
如果命中环或环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知一组数据满足线性回归关系，且经验回归方程为，若，则( )
A. B. C. D.
4.一质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：满足关系式，则质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
5.安排名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色记事件：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件：“两枚骰子的点数之和是”，则( )
A. B. C. D.
8.函数的零点的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于，两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数如下：，，，，则正相关的变量，所对应的线性相关系数是( )
A. B. C. D.
10.下列关于的二项展开式，说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式的二项式系数之和为
C. 展开式的常数项为 D. 展开式的第项的二项式系数最大
11.已知甲袋中有个红球，乙袋中有个黑球个红球从两袋中各随机摸出个球，放入对方袋中，如此反复次，记甲袋中恰有个红球的概率为，甲袋中恰有个红球的概率为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ______．
13.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，表示“正面朝上”出现的次数，则 ______， ______．
14.若，则的值被除的余数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目．
若任意选择三门课程，求不同的选法总数；
若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数．
16.本小题分
已知函数．
求函数的极大值；
求函数在区间上的最小值．
17.本小题分
某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”现从这个年级中随机抽取名学生，测试成绩如下：
学生编号
测试成绩
若该校高二年级有名学生，将样本频率视为概率，试求在高二年级学生中任意抽取人，此人是“体质优秀”学生的概率．
若从这名学生中随机抽取人，记为抽取的人中“体质良好”的学生人数，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
某机构为了解科技工作者对的使用情况与年龄是否有关，从甲市科技工作者中抽取了人进行调查，得到表格．
使用 不使用 总计
年轻人周岁及周岁以下
中老年人周岁以上
总计
补全表中数据，根据小概率值的独立性检验，是否可以认为科技工作者对的使用情况与年龄有关联？
将样本中使用的频率作为甲市科技工作者中使用该软件的概率，从甲市科技工作者中随机抽取人，记为这人中使用的人数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若，求证：对，且，都有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若任意选择三门课程，
则不同的选法总数为种；
物理和历史同时选时，只要在剩下的五门选一个即可有种，
若物理和历史不能同时选，则不同的选法总数为种．
16.根据函数，得导函数，
令导函数，得或．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递增．
因此当时，函数取到极大值，
因此的极大值为．
根据第一问可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增．
又因为，，
所以在区间上的最小值为．
17.根据题意易知，此人为“体质优秀”的频率为，所以此人是“体质优秀”学生的概率为；
记为抽取的人中“体质良好”的学生人数，易知的所有可能取值为，，，
根据古典概型可以求得，
，
，
得到关于的分布列为：
将表格数据代入期望公式得到．
18.补全表中数据如下：
使用 不使用 总计
年轻人周岁及周岁以下
中老年人周岁以上
总计
零假设为：科技工作者对的使用情况与年龄无关联，
由列联表中的数据，得．
根据小概率值的独立性检验，可以推出不成立，
即可以认为科技工作者对的使用情况与年龄有关联．
样本中使用的频率为，
所以的可能取值为，，，，且，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
19.【解：因为，定义域为，
所以．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
证明：不妨设，要证对，，都有，
只需证，即需证．
令，
则需证函数在上为增函数，
结合，因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对，且，都有．
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