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2024-2025学年贵州省黔西南州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为公差不为的等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
2.过原点且与圆：相切的直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
4.若随机变量，且，则有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
5.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知的展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.某班级学生男生占，女生占，男生近视率为，女生近视率为随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为( )
A. B. C. D.
8.设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，，，则( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则有最大值
10.某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到家公司实习，每人只安排一家公司，则( )
A. 共有种安排方式
B. 每家公司至少有一人的不同安排共有种
C. 丙独自一人在一家公司的概率为
D. A、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有种
11.已知函数，则( )
A. 当函数是单调函数时，
B. 若，则的最小值为
C. 若恰有两个零点，则
D. 当时，曲线有且仅有条过原点的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，则 ______．
13.在线性回归分析模型中，变量与相对应的四组数据为，，，，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则______．
附：，，．
14.九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等将的自然数填入九个格中，如图的九宫格，“？”处应填的数字是______；如图，不同的九宫格共有______种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极小值．
求的值及的极小值；
记点，求过点且与曲线相切的直线方程．
16.本小题分
素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”马岭河峡谷闻名遐迩某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了年月至月的数据统计如下：
月份 游客数量单位：百万人 旅游消费总额单位：亿元
月
月
月
月
月
参考数据：，．
请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程结果精确到；
从年月游客中获取了容量为的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客名，参观马岭河峡谷的游客名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客名依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？
附：，．
17.本小题分
年月，人工智能领域被一颗重磅炸弹彻底引爆以令人惊叹的速度迅速走红，成为全球瞩目的焦点，它以“低成本，高性能，开源普惠”重构了行业的竞争格局黔西南州某中学高二年级学生小王拟使用生成范文以提升写作技能，需输入“作文标题”“关键词”获取范文，若首次输入生成的范文满足需求即“满意”，则停止输入；若不满意，则仅需修改“关键词”重新输入，以此类推，至多修改次已知第次输入获得“满意”范文的概率为，每次输入结果相互独立．
求小王输入次才获得“满意”范文的概率；
设小王输入次数为随机变量，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知，，为坐标原点，动点满足．
求点的轨迹方程；
，是点轨迹上的点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值．
19.本小题分
已知，，，设函数，且与的最大值相等．
求，间的等量关系；
证明：与都恰有个零点；
记的零点为，的零点为，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.，导函数，
因为函数在处有极小值，得，解得或，
当时，导函数，
由，解得；由，解得或，
那么函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处有极小值，符合题意；
当时，导函数，
由，解得；由，解得或，
那么函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以在处有极大值，不符合题意，
那么，函数的极小值．
根据第一问知，点，
设过点的直线与相切的切点为，
而，那么切线为，
那么，即，解得或，
因此切线为或．
16.根据题意可知，，，
则，
，
所以关于的经验回归方程为；
依题意，列联表为：
参观马岭河峡谷 未参观马岭河峡谷 总计
参观万峰林
未参观万峰林
总计
零假设：游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联，
，
依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据说明推断不成立，
即认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联．
17.由题，，
因此概率为：．
由题，的可能值为，，，，
，
，
因此的分布列为：
．
18.设，
因为，
所以，
即，
所以，
整理得，
则点的轨迹方程为；
证明：设，，
，
则，
因为，两点均在曲线上，
所以，
所以
，
可得，
所以，
则为定值，定值为．
19.由题意，函数的定义域为，，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为；
函数的定义域为，，
当时，，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，
由与的最大值相等，得，所以．
证明：(ⅰ)由知函数在上单调递增，在上单调递减，而，，
当时，，当趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点；
函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，当从大于的方向趋近于时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点，
所以与都恰有个零点．
(ⅱ)依题意，，；，，
则，而，因此，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
而，因此，由，得，
所以．
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