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2024-2025学年吉林省长春市外五县高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：( )
A. B. C. D.
2.根据成对样本数据建立变量关于的经验回归方程为若的均值为，则的均值为( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中含有常数项，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩高于分的人数占总人数的，数学考试成绩在分到分含分到分之间的人数为，则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A. B. C. D.
5.如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中，的系数与常数项之差为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，记，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.某同学喜爱球类和游泳运动在暑假期间，该同学上午去打球的概率为，若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 某学校有名学生，其中男生人，女生人，现选派名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为，则服从超几何分布
B. 若随机变量的均值，则
C. 若随机变量的方差，则
D. 随机变量，则
10.以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有( )
A. 第行中，从左到右看第个数最大
B. 第行的所有数的和为
C.
D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在上是减函数
B. 的单调递增区间为和
C. 恰有一个零点
D. 的极大值大于极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.由，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列由高数位到低数位，这样的七位数有______个
14.某校高一新生组织数学竞赛选拔测试，一共道试题，规定答对一题得分，答错一题扣分已知小明同学每道题答对的概率为，每道题答对与否互相独立，则小明同学总得分的均值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
人们曾经相信，艺术家将是最后被Ⅰ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是Ⅰ第一次引起人类的恐慌，由Ⅰ，等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，Ⅰ会取代人类画师吗？某机构随机对人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有人，岁以下认为不会取代的有人，占岁以下调查人数的．
根据以上数据完成如下列联表：
年龄 理解情况 总计
会取代 不会取代
岁以下
岁及以上
总计
依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．
参考公式：，其中．
16.本小题分
盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良现对一批某品种种子的密度单位：进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和．
估计这批种子密度的平均值；同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
用频率估计概率，从这批种子总数远大于中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望各种子的萌发相互独立．
17.本小题分
某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从岁人群中选取了人，测得他们的身高单位：和体重单位：，得到如下数据：
样本号 均值
身高
体重
若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由精确到；
建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值保留整数．
参考数据：，，，，．
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，．
18.本小题分
已知函数，，为的极值点．
求的最小值；
若关于的方程有且仅有两个实数解，求的取值范围．
19.本小题分
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得分，未命中得分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得分，并继续射击；若本次未命中，则得分，并终止射击．
设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量，求；
甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：完成列联表如下：
年龄 理解情况 总计
会取代 不会取代
岁以下
岁及以上
总计
设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关，
由题意，，
所以根据小概率的独立性检验，我们推断成立，
即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于．
16.估计种子密度的平均值为；
由频率分布直方图知优种占比为，
任选一粒种子萌发的概率．
因为这批种子总数远大于，所以萌发的种子数符合二项分布，
所以可取的值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以期望，
故期望值为．
17.解：，
因为，
所以，即身高与体重间是高度相关的；
因为，
所以，
所以体重关于身高的回归方程为，
所以当时，，
即某同学身高为时，体重大概为．
18.解：，
依题意，所以，
所以，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得最小值，
所以的最小值为；
由可知，，
令，则，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，
所以
19.解：设甲同学在方案一中射击轮次，射中的次数为，则，且，
所以，
故E．
由知，
设乙同学的总得分为随机变量，的所有可能取值为，，，，，
所以，，，，，，，
所以，
设，
则，
两式相减得，，
所以，
代入，得，
设，
当时，，且，
故满足题意的最小值为．
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