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2024-2025学年吉林省普通高中G8教考联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为( )
A. B. C. D.
3.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
6.围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区户偏爱酒店的用户与户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到统计图，则下列说法中不正确的是( )
A. 偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高
B. 在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等
C. 小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等
D. 在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高
7.“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第次仍然由甲投掷的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
B. 若，则
C. 若，则
D. 复数是方程在复数范围内的一个解
10.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是”为事件，则( )
A. 与相互独立 B. 与互斥 C. D.
11.如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成，连结，
为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A. 存在某个位置，使得
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则 ______．
13.九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图几何体是一个刍童，其上下底面都为正方形，边长分别为和，
侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，则该几何体的体积为______．
14.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，，，分别为内角，，的对边，且满足C.
求角；
设点为边中点，且，求最大值．
16.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者长春市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
试估计样本成绩的平均数和上四分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，，，．
证明：；
若二面角为，且，求与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为，，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加．
Ⅰ若，求甲没有进入决赛的概率；
Ⅱ若，，求甲、乙均只通过一轮的概率；
Ⅲ设甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，若，求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接．
证明：平面；
求到平面的距离；
线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.C.
由正弦定理得：，
即，
，
又，
；
为边中点，
，
，
，
当且仅当时取等号，
最大值为．
16.根据题意可得，解得；
估计样本成绩的平均数为：
；
因为各组的频率依次为，，，，，，
所以上四分位数内，且为；
由题成绩在有人，
成绩在有人，
则这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
．
17.证明：因为为正方形，所以，
因为，为中点，所以，
又平面，平面，且，
所以平面，
平面所以．
由得，，
所以为二面角的平面角，即，
，则，又，
则，
因为，可得，
又，，且平面，平面，
则平面，则，，两两互相垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
有，
则，
设平面的法向量，
则，则，即为，
取，
设与平面所成角为，
则，
，
故与平面所成角的余弦值为．
18.Ⅰ甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为，
通过第二轮的概率分别为，，
每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加．
每次是否通过互不影响，甲同学通过第一轮的概率分别为，
通过第二轮的概率为，甲进入决赛的概率，
甲没有进入决赛的概率；
Ⅱ甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为，
通过第二轮的概率分别为，
甲只通过一轮的概率为：，
乙只通过一轮的概率为：，
甲、乙的比赛情况相互独立，
甲、乙均只通过一轮的概率；
Ⅲ设甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，
甲进入决赛的概率为；乙进入决赛的概率为，
两人都不进入决赛的概率为，
甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，
两人均进入决赛的概率为，
若，所以，
即．
19.解：证明：在四棱锥中，取中点，连接，
由为的中点，且，，得，，
则四边形为平行四边形，，而平面，平面，
所以平面．
取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，
则，则，
取，得，
又，
所以到平面的距离，
因为平面，
所以到平面的距离为到平面的距离，即．
令，
，，
设平面的法向量为，
则，则，
取，得，
平面的法向量为，
于是，
化简得，又，
解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，．
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