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2024-2025学年湖南师大附中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.如图，下列正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和为异面直线的是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数是上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.等比数列中，，，函数，则( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象如图所示，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量，且，则
B. 某物理量的测量结果，越大，该物理量在一次测量中的结果在的概率越大
C. 已知随机变量，若，则
D. 已知随机变量，若，则
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 当时，有且仅有一个零点
B. 若函数在区间上单调递增，则
C. 存在实数，使得在上恒成立
D. 若，则过原点有两条直线与曲线相切
11.造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线下列说法正确的是( )
A. 轨迹仅经过一个整点即横、纵坐标都是整数的点
B. 若点位于椭圆上，且，则的离心率为
C. 点与原点之间的距离不超过
D. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线离心率为______．
13.函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为______．
14.某盒子中有黑、白球各个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则的数学期望为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，边上的高等．
求的值；
若，求的周长．
16.本小题分
已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点．
求点的轨迹方程；
过点的直线与点的轨迹相交于，两点，若的内切圆半径为，且，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，是四边形不含边界内的动点且．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
18.本小题分
设函数．
当时求曲线在处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合定义集合，，，，，．
写出集合；
记集合中的元素个数为，证明：数列为等差数列；
从集合中任取个不同的数，证明：这个数中一定存在三个不同的数，，使得．
参考答案
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14.
15.解：设中，角，，所对的边分别为，，，
由题意可得，即，
由正弦定理得，又，所以；
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以，
所以的周长为．
16.圆：的圆心，半径，连接，则，
，
因此点的轨迹是以，为左右焦点，长轴长的椭圆，而焦距，短半轴长，
所以点的轨迹方程为．
由知是点的轨迹的右焦点，则过的直线与该轨迹必交于两点，
且直线不垂直于轴，
设其方程为，，，
则，
由为的内切圆半径，且的周长为，
得，
又，
所以，
所以，
解得，
所以直线的方程为．
17.解：证明：在中，由余弦定理得，，
故，
由勾股定理得，所以，
又因为，，，平面，
所以平面C.
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
又是四边形不含边界内的动点，
则点在以为圆心，半径为的圆上，
以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，如图建系，
则，，，
令，则，，，，，
设平面的法向量为，
则
则取，
设平面的法向量为，
则
则取，
故，
令，
则．
因为函数在上单调递减，则，
则，
所以设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围为．
18.当时，函数，导函数，那么，而，
因此切线为，即．
的定义域为，
导函数，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，由，得；由，得或，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，，且当时取等号，在上单调递减；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，函数在上单调递减，则最多一个零点；
当时，在处取得极小值，则最多一个零点；
当时，在处取得极小值，则最多一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，要函数有两个零点，则必有，
解得，此时，当从大于的方向趋近于时，趋近于正无穷大，，
因此当且仅当时，函数恰有两个零点，
所以实数的取值范围是．
19.已知，
当时，，所以，
根据的定义，需满足，，，且．
设，则，，
当时，三元组为；
当时，三元组为；
当时，三元组为，设，则，
取，，则，三元组为，
设，则，
取，，则，三元组为，
所以，，，，．
证明：当时，．
对于集合，且，．
当时，，
则可以为，，，，共组．
当时，，
则可以为，，，，共组．
当时，，则，共组．
所以．
则．
因为常数，
且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
证明：设从集合中取出的个不同的数为．
假设不存在三个不同的数，，，使得．
考虑，，，中最小的数，为了不满足，
与相加和为的数不能同时取到；
同理对于，也不能同时取到等．
将集合中的数分成组：，，，，另外还有单独的．
从这个数中取数，根据抽屉原理，因为总共取个数，而上述分组有组再加上这一组，共组．
如果不存在满足的三个数，那么每组中最多取个数除了单独考虑，这样最多取个数，这与取了个数矛盾．
所以这个数中一定存在三个不同的数，，，使得，即．
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