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2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：、，使得，则命题的否定为( )
A. ，，使得 B. 、，使得
C. ，，都有 D. 、，都有
3.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
4.从队人、队人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取人，进行一轮答题竞赛相关统计情况如下：队答对题目数的平均数为，方差为；队答对题目数的平均数为，方差为，则这人答对题目数的方差为( )
A. B. C. D.
5.已知空间中两条不同的直线，和三个不同的平面、、，满足，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球，各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
7.中，角，，的对边分别为，，，若，时，当角有两解时，边的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是( )
A. 若，满足，且与反向，则 B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D. 把函数的图象平移个单位后关于轴对称，则的最小值为
11.在棱长为的正方体中，是棱的中点，则( )
A. 过点有且只有一条直线与直线和都相交
B. 过点有且只有一个平面与直线和所成角相等
C. 过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的面积为
D. 点是正方形内的动点，，则点的轨迹长度是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，为纯虚数，则 ______．
13.若半径为的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为______．
14.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则周长的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
当时，求函数的最值及相应的值．
16.本小题分
年世界大学生夏季运动会将于月日至月日在中国成都举行随着大运会的临近，大运会的热度持续提升为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．
试根据频率分布直方图求出这名学生中成绩低于分的人数；
试利用频率分布直方图估计这名学生成绩的第百分位数；
若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人中至少有人的成绩在的概率．
17.本小题分
如图三棱柱中，侧面底面，底面三角形不是直角三角形，．
求证：三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积；
若底面为正三角形，，为线段上一动点，且满足四棱锥的体积为，求平面与平面所成二面角的正切值．
18.本小题分
定义在定义域上的函数，若存在实数，使得为偶函数，则称函数为型函数；若存在实数，使得为奇函数，则称函数为型函数．
已知的定义域为，且的图象关于直线对称证明：为型函数；
若，，且为型函数．
证明：；
若，对于，求的取值范围．
19.本小题分
如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，且，．
求边的长度；
求；
设，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意可得
，
令，，
解得，，
可得的单调递增区间为，；
由，可得，
令，可得在单调递增，在单调递减，
可得时，；
时，；
可得当时，取最大值为，当时，取最小值为．
16.根据题意可知，人；
成绩小于的频率为，
成绩在的频率为，，
这名学生成绩的第百分位数在内，
随机抽取的名学生成绩的第百分位数为；
成绩在，，的学生人数所占比例为：：，
从成绩在，，所抽取人数分别应抽取人，人，人，
记抽取成绩在的人为，，，成绩在的人为，，成绩在的人为，
从这人中随机抽取人的所有可能为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
共种情况，且每种情况的发生是等可能的，
抽取的人中至少有人的成绩在的情况有：
，，，，，，，，，
，，，，，，共种等可能的情况，
抽取的人中至少有人的成绩在的概率为：．
17.证明：过作，垂足为，
因为三角形不是直角三角形，
所以与，不重合，
又因为侧面底面，侧面底面，面，
所以面，
因为平面，
所以，
又因为，，
所以，
又，面，平面，
所以面，即三棱柱为直三棱柱，
设侧面面积分别为，，，则由于三棱柱为直三棱柱，
所以，，，
又因为，，，
所以，，，
所以三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积．
过作，垂足为，过作，
垂足为，连接，易知面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以面，
因为平面，
所以，
即为平面与平面所成平面角，
因为底面为正三角形，，
所以，
由直三棱柱的几何特征可得，
设到平面的距离为，
因为，
即得，可知为线段的中点，则为线段的中点，
所以，，
在中，，
所以平面与平面所成二面角的平面角的正切值为．
18.证明：由的图象关于直线对称，定义域为，得，
则，即函数为偶函数，
所以为型函数．
证明：由函数为型函数，则存在实数，使得为奇函数，
即成立，
而，
于是，
即，
又，当且仅当时取等号，
因此不恒为，则，即，而，
所以；
当时，，
不等式，
可等价转化为恒成立，
即恒成立
恒成立，
令，则，
，
即，
当时，，
当且仅当时取等号，则，
所以的取值范围为．
19.因为，
所以，整理得，
因为，所以．
因为，，可知，
所以．
在中，由正弦定理可得
在中，由正弦定理可得，
因为，，
将两式相除可得：．
若为钝角，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，所以，
，与已知矛盾．
所以为锐角，所以，
又，，
所以
，
因为，所以．
设，，，
所以，，
，
因为、、三点共线，所以，
，
．
所以
，
因为，而，所以，
所以，
所以的取值范围为．
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