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2024-2025学年广东省深圳高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.一次期中数学考试成绩服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取名考生，至少有名考生的成绩高于的概率为( )
A. B. C. D.
6.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
7.学校开展数学学科周活动，从高二、、、班各选两名同学组成一个名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是由个样本数据得到的散点图，根据这个样本数据建立关于的经验回归方程下列说法正确的是( )
A. 样本数据、、、、的平均数为
B. 去掉后，残差平方和变小
C. 经验回归直线经过点
D. 相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱
10.已知正数、满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是( )
A.
B. 方程所有根的和为
C. 是周期为的周期函数
D. 线段，与，的图象有个交点
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12. ______．
13.定义在上的奇函数满足，且，则 ______．
14.互质是数论中一个基础概念，指的是两个整数公因数只有，例如和，和分别都只有公因数，所以和，和分别都是互质的的不同的正因数有______个，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了人，得到如下列联表：
性别 近视 合计
不近视 近视
男
女
合计
在样本中的名女生中随机选取人，求这人中至少有人是近视的概率；
小组成员甲通过计算发现女生的近视率为小于男生的近视率，所以甲认为男生更容易近视请根据小概率值的独立性检验，分析甲的说法是否正确？
16.本小题分
已知函数在处取到极值．
求；
设，求的最小值．
17.本小题分
已知函数且的图象过点．
求；
当时，存在偶函数和奇函数，使得．
求和的解析式；
求不等式的解集．
18.本小题分
有个不同的球和个编号为到的盒子每个盒子都能装下至少个球，现将个球随机地放入这个盒子里，记为空盒子的个数．
若，设“号盒子为空”，求；
若，求的分布列和期望；
若、为随机变量，则证明：．
19.本小题分
实数、满足，将表示为关于的函数，并求该函数的值域；
已知函数，是否存在实数，使得也是关于的函数，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由；
实数、满足，求区间，是为关于的函数的充要条件．
参考答案
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15.根据题意可知，名女生中，有名近视，名不近视，设为近视的人数，
则，
所以这人中至少一个是近视的概率为；
零假设：性别与是否近视无关，
根据列联表数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为性别与是否近视无关，甲同学的说法不正确．
16.函数，那么导函数，
由于在处取到极值，因此，得，
因此导函数，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
因此在处取得极小值，
综上．
根据第一问可得函数，其中，
因此导函数，
令，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以．
17.由题意函数且的图象过点，
可得，解得；
由题意时，存在偶函数和奇函数，使得，
可得，
由，
所以，
；
由，即，即，
因为，即，即，得，
所以原不等式的解集为．
18.号盒子为空，因此两个球都放入了号盒子，因此．
的可能取值为、、、，
，，
，，
因此随机变量的分布列为：
．
证明：每个盒子空的概率为，
设，因此，
因此，
因为，因此，
即，
令，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因此，即时，，
因此，得，因此．
19.因为，则，所以，
因为，所以，即函数的值域为．
若是关于的函数，则对于任意的，都只有唯一确定的与之对应，
所以对任意的，方程最多只有一个实数根，
设，所以，
令，则．
时，，可得，所以是的函数；
时，令，得，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增，
所以，
当，即时，是单调增函数，
所以最多只有个解，符合题意；
当，即时，
由，，所以，，
，所以，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
设，所以在单调递增，
，，
所以，使得，即，
所以方程有两个实数根和，不合题意；
时，，单调递增，
因为，，所以，，
且时，，在上单调递减，
时，，在单调递增，
设，所以在单调递减，
因为，，
所以，，所以，，即，
所以方程有两个实数根和，不合题意，
综上的取值范围是；
若存在，当时，是关于的函数，
则对，关于的方程有且仅有唯一实数根，
令，则，
令，得，，
，，
时，在和单调递增，在单调递减，
所以的极小值为，且，，
所以方程有且仅有个解，
时，，符合题意；
时，在和单调递增，在单调递减，
因为的极大值为，
所以仅在的极小值为，即时，方程只有个解，
又，所以方程有且仅有个解，
综上的范围为，
所以区间为，当时，是关于的函数．
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