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2024-2025学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用，，，这个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A. B. C. D.
2.若随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.二项式的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
5.若随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
6.现有本不同的书天工开物、梦溪笔谈、齐民要术、本草纲目、九章算术，则下列说法正确的是( )
A. 将全部的书放到个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法
B. 将全部的书放在同一层书架上，要求本草纲目和九章算术相邻，有种不同的放法
C. 将书分给位不同的学生，其中一人本，一人本，一人本，有种不同的分法
D. 现将五本书并排成一排，则天工开物、梦溪笔谈按从左到右可以不相邻的顺序排列的不同的排法有种
7.若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值( )
A. B. C. D.
8.函数有两个极值点，满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是( )
A. 若等比数列的前项和，则实数
B. 若数列为等比数列，且，则
C. 若等差数列的前项和为，则，，，成等差数列
D. 若等差数列的前项和为，，公差，则的最大值为
10.已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 被整除的余数为
11.已知函数，，则( )
A. 函数在上无极值点
B. 函数在上单调递增
C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等差数列的前项和为，且，则 ______．
13.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为______．
14.某校开学后，食堂从开学第一天起，每天中午只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，如果第天选择米饭套餐，那么第天选择面食套餐的概率为；如果第天选择面食套餐，第天选择米饭套餐概率为，如此往复设该同学第天选择米饭套餐的概率为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且．
求证：是等差数列，并求的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
有台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为．
设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：；
从混合放在一起的零件中随机抽取个零件，用频率估计概率，记这个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列通项公式；
数列满足，求数列的前项和；
设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数，．
求函数在区间上的最值；
若对，求证：；
求证：．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.根据数列满足，且，
两边取倒数，可得，
所以是首项和公差均为的等差数列，
所以，所以；
由，
则，
根据分组求和可得．
16.当时，，因此导函数，
所以，，
因此在处的切线方程为，即得；
，因此导函数．
当时，，导函数，单调递增；
当时，单调递增；单调递减；
，，单调递增；
当时，，，单调递增；单调递减；
单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，递减区间是；递增区间是；
当时，递减区间是；递增区间是．
17.证明：已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件，
第二台车床加工的零件有件，合格品有件，
混合后的合格率为，解得；
由可知，一个零件来自第二台车床概率为，
随机变量可能取值有，，，，，来自第二台车床零件的个数服从二项分布，
则，
，，，，，，
所以的分布列为：
所以，；
18.根据数列的前项和为，且，
当时，，解得，
当，由，可得，
作差得，化简得，
可知数列为等比数列，所以．
可知，
则，
则，
作差得，化简得．
已知，可知在函数上，
设等差数列，是一个首项为，公差为的等差数列，
则在函数上，
可知是指数函数，是一次函数，
易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，又在上，
即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.对函数求导可得，
令，则，
当时，，
由正弦函数性质可知，当，即，，
当，即，，
因为，所以时，，时，，
即函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
而，，，
所以函数的最大值为，最小值为；
证明：要证，只需要证明，其中，
设，，
设，
因为函数、在上均为减函数，
则在区间内单调递减
因为，，
所以，使得，
当时，；当时，．
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减
又因为，，，
所以，使得，
当时，；当时，．
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
因为，，
所以在区间内恒成立，
即对，成立；
证明：由得，对任意恒成立，
令，，则，
所以，，，，，
所以．
对，，所以，
所以
，
所以得证．
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