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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨十二中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则角的值为( )
A. B. C. 或 D.
4.在中，是靠近点的三等分点，( )
A.
B.
C.
D.
5.正方体中，异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥高为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量夹角为，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部是 B.
C. 在复平面内对应的点在第二象限 D.
10.如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 正方体的外接球的表面积为
D. 三棱锥的体积为
11.已知的内角，，的对边分别为，，，则如下判断正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则为等腰三角形或直角三角形
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若的面积，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则 ．
13.在中，，，，则外接圆的半径为______．
14.如图，平行六面体中，，，，
，则的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，满足：，，．
求；
当时，求实数的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点．
证明：平面；
证明：平面．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，，设为的角平分线，求的长．
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若的面积为，且，求的最小值．
19.本小题分
如图，四边形中，，，为中点，点在上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为．
证明：平面；
求面与面所成二面角的正弦值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.由题意，，，
又因为，
所以；
因为，则，
可得，
即，
解得．
16.解：证明：如图，连，由四边形为菱形，
为的中点，为的中点，
所以为的中点，
所以，
因为平面，不在平面上，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，
在菱形中，，为菱形的对角线，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
17.因为，由正弦定理可得，
在中，可得，
可得，
又因为，
可得；
因为，，，为的角平分线，
所以，
即，
可得；
因为，且的面积为，
可得，可得，
由余弦定理可得，
即，
解得，
所以的周长．
18.解：由，
根据正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，结合，可知．
根据题意，的面积，
即，可得，所以．
因为，所以，
两边平方得，
因为，当且仅当时取等号．
所以的最小值为，可知的最小值为．
19.证明：因为在四边形中，，且，所以 ，
又，所以四边形为矩形，
折叠后，显然，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，所以平面平面，又平面，
所以平面；
由，，所以，所以，，
所以面与面所成二面角的平面角为，
结合，所以平面，可得平面平面，
又为的中点，所以为等边，
如图以为原点建立空间直角坐标系，设，则，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，可得，
再设平面的法向量，
则，解得，
设面与面所成二面角为，
则，
所以．
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