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2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线垂直，则实数( )
A. 或 B. C. D.
4.名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，，这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.圆：与圆：的公切线条数是( )
A. B. C. D.
7.某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取件产品进行检验，得到如下列联表，则下列说法正确的是( )
优质品 非优质品 合计
新产线
旧产线
合计
附：
A. 有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异
B. 有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异
C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量没有差异
D. 根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断犯错误的概率不超过
8.用表示，中的最小值，则函数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，则( )
A. B. 为等比数列
C. D. 数列的前项和为
10.如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折起，使得二面角的大小为，，，分别为，，的中点，折纸后，下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 以为顶点的四面体的外接球体积为
D. 直线上存在点，使得
11.已知双曲线：经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则( )
A. 的渐近线方程为 B. 动点的轨迹与无公共点
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，的系数是______．
13.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
14.在平面直角坐标系中，一个质点从坐标原点出发，每次等可能地向上、向下、向左或向右自由移动一个单位，记次移动后质点的坐标为，则的概率为______；若已知，那么的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列与等比数列满足：，，．
求数列和的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，，，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
17.本小题分
科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素小时后体内抗生素残留率与注射剂量之间的关系，测得一组实验数据如表：
剂量
残留率
根据以上数据计算得样本相关系数，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，请建立关于的经验回归方程；
当数据对应的残差的绝对值时，称该数据为“正常数据”现从这个实验数据中随机抽取个，用表示抽到“正常数据”的个数，求的分布列及均值．
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，；参考数据：，．
18.本小题分
已知椭圆：的长轴长与短轴长的比值为．
求椭圆的离心率；
过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点．
若直线的斜率为，求椭圆的焦距的取值范围；
若面积的最大值为，求椭圆的标准方程．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在上恰有一个极值点，在上恰有一个零点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.设等差数列的公差为，
等比数列的隔壁为，
由，，，可得，，
解得，，
则，；
，
数列的前项和，
，
相减可得
，
则．
16.证明：取中点，连接、．
由题意知，，，
则且，
所以，四边形为平行四边形，
则且，
又因为底面是正方形，
则且，
所以，且，
则四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以，平面．
因为底面是正方形，所以，
又因为，，所以，
又因为，所以，
又因为底面是正方形，所以，
根据题意知，，
所以，
所以，即，
因为，，，
故以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方形边长为，，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则即，
取，则，，即．
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，即．
设二面角的平面角为，
则，，
所以，，
因此，二面角的正弦值为．
17.由表知，，，
所以，
，
故关于的经验回归方程为．
，，，，
，，，，
即有组数据为“正常数据”，
所以的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
故数学期望．
18.由题意可知，，即，又由，
可解得，故椭圆的离心率为；
由可知，可以将椭圆的方程表示为，直线的的方程为，
联立直线和椭圆的方程，得因为与有两个公共点，
所以，解得，
则，故椭圆的焦距的取值范围是；
(ⅱ)当直线斜率不存在时，，，三点共线，不构成三角形．
当直线的斜率存在时，设：，，，
联立直线和椭圆的方程，得，
因为与有两个公共点，所以，化简得，
由韦达定理知，，，
故，
原点到直线的距离，
，令，
得，故，
当时，．
当且仅当，即，时有最大值，
故，即，所以椭圆的方程为．
当时，，此时函数在定义域内单调递增，故当，
即取最小值时，有最大值，
所以，解得不符合条件，
综上，椭圆的方程为．
本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题．
19.因为时，，，
所以斜率，切点坐标为，
所以在的切线方程为，即．
，，
因为，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，无极值点，
又，
所以，
此时在无零点，不合条件，
当，即时，
当，即时，在恒成立，
所以在上单调递减，无极值点，不合条件，
当，即时，此时有，
一方面，结合在上单调递增，由零点存在定理，
，使得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以时，为函数在内唯一极值点，
另一方面，在单调递增，
因为当时，恒成立，
所以，即时，
，
由零点的存在定理，，使得，
此时为函数在内唯一零点，
综上所述，实数的取值范围为．
证明：由可知，当时，
在恰有一个极值点，在恰有一个零点，
又，，
因为在上单调递增，
所以，，
所以，，
又因为函数在上单调递增，
所以要证，
只需证，
又，
即证当时，，
因为，
所以，
所以
，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，即，得证．
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