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2024-2025学年吉林省长春市四县区联考高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，，的第百分位数次为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.下列叙述中，错误的是( )
A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散
B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C. 极差为一组数据中最大值与最小值的差
D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
4.已知向量，，其中，，且，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为( )
A. B. C. D.
6.从分别写有，，，，，的张卡片中无放回随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之和是的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
7.下列命题中，正确命题的个数是( )
如果，是两条平行直线，那么平行于所在的任何一个平面；
如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行；
如果直线，和平面满足，，那么；
如果直线，和平面满足，，，那么；
如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，那么．
A. B. C. D.
8.文峰塔建于清道光三十年年，具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，该
塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶其建筑特色和地理位置南山之巅使其成为俯瞰山城的重要观景点某校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点同一水平面且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则文峰塔的高约为( )
参考数据：
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为
10.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有人参加考试为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为，则由样本估计总体可知下列结论正确的为( )
A. B. 估计考生成绩的众数为
C. 估计考生成绩的中位数为 D. 估计该市考生成绩的平均分为
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ______．
13.在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则 ______．
14.菱形的边长为，，沿对角线折成一个四面体，使得平面平面，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．
求证：．
若，，求三棱锥的体积．
16.本小题分
某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在分及以上的为一等品，低于分的为二等品下面是检验员从一批产品中随机抽样的件产品的评分：
经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，，，，．
求这组样本平均数和方差；
从以上随机抽取的件产品中任意抽取件，求这两件均为一等品的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，．
求证：平面；
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展某学校举行了相关专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
求和的值；
试求两人共答对道题的概率．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求的值；
当与边上的中线长均为时，求的周长；
当内切圆半径为时，求面积的最小值．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.证明：取中点，连接，，
在直三棱柱中，，，分别为，的中点，
故EH，．
又，，，
，，平面，
故AB平面．
平面，．
解：，，平面，
平面，三棱锥的体积为：
．
16.由题意可知，，
所以样本方差为；
设事件为两次都抽到一等品，
用，，表示抽取的件产品中的三个一等品，用，，表示抽取的件产品中的三个二等品，
则该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，共有个样本点，
则，，，
所以，
即两件均为一等品的概率为．
17.证明：如图：取的中点，连接，，
则，且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
证明：因为平面，平面，所以，
由题设易知为直角梯形，且，
则，所以，
因为，，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，，平面，
所以平面．
如图：取的中点，连接，
则，由知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角，
又平面，所以，
因为，
又，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由题意可得，
即，解得或，
，．
设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，，
由题意得，，
．
设甲、乙二人共答对道题，则．
由于和相互独立，与互斥，
所以．
所以甲、乙两人共答对道题的概率为．
19.解：由正弦定理得，
又由，得，
因为，所以．
由余弦定理得，即， 由边上的中线长为，
得，联立解得，
所以，即的周长为．
由内切圆半径为，得，因为，
所以，得，因为，
所以，
解得或，
又因为的面积大于其内切圆面积，即，得，
所以，当且仅当时，的面积取到最小值．
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