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2024-2025学年吉林省长春市农安十中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.从装有除颜色外完全相同的个红球和个白球的口袋内任取个球，那么对立的两个事件是( )
A. 至少有个白球，至少有个红球 B. 至少有个白球，都是红球
C. 恰有个白球，恰有个白球 D. 至少有个白球，都是白球
4.在正方形中，点在边上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
5.某企业两台设备在一天内正常运行的概率分别为，，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
7.已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向现位于点北偏东方向，点北偏西方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西方向且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里小时，则该救援船到达点所需的最短时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定一组数，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 中位数为 B. 方差为 C. 平均数为 D. 分位数为
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则一定为直角三角形
D. 若，，且该三角形有两解，则的取值范围是
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则( )
A.
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
13.已知，，复数，则 ______．
14.已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求与的夹角；
若，求的值．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，的周长为，且．
求．
已知的面积为．
求，；
求的外接圆的半径．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点．
证明：．
求点到平面的距离．
18.本小题分
年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
求该样本的第百分位数；
试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表；
该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在和内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出名同学，再从抽取的这名同学中随机抽取名同学了解情况，求这名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率．
19.本小题分
世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点请根据费马点性质解决下列问题．
已知在中，，，若点为的费马点，求的面积；
已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值；
已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为的费马点，求的值．
参考答案
1.
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14.
15.由，，，
可得
，
解得，即，
则，又，
所以；
由，，，
可得，
解得或．
16.因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
得；
由题意得，则，
则有，解得，或，；
由余弦定理得，
则，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，得．
17.解：证明：在正中，为的中点，，
平面平面，平面平面，
且，平面，
平面，
又平面，，
又，且，，平面，
平面，
平面，
；
如图，取的中点为，连接，，
在正中，，平面平面，
又平面平面，平面，
平面，
若，则，
，
由知平面，，
平面，
平面，
，
设点到平面的距离为，
而，
由，
可得，．
．
18.由题可得，解得．
因为，，
所以样本的第百分位数位于区间，设为，
则，解得，
故该样本的第百分位数为分．
由题可得平均分为：分，
故试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为分．
由题可得区间和的频率比为：：，
所以抽出的名同学中名位于区间，名位于，
设名位于区间的同学为，，名位于区间的同学为，，，，
则名同学中随机抽取名同学有：，，，，，
，，，，，，，，，共种情况，
这名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内有：
，，，，，，，共种情况，
所以有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率为．
19.设，，，
由，
所以，
由，
所以，
两式作差，得，而，
则，
在中，
则，
所以；
在中，，，
以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，设点，
则，，，
所以，
所以表示到点，，的距离之和，如图，
由题意，为的费马点时，为最小值，
由，，
设．，，
由余弦定理得，
即，
同理得，，
联立可得，，
所以最小；
如图，
在中，，
由正弦定理得，
则，
由，则为锐角，
所以，
由，则，故，
在中，，
可得，
所以，
故，
又，
所以．
由．
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