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2024-2025学年湖南省名校联考联合体高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若，，，则( )
A. B. C. D.
3.若命题：，命题：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数图象的对称中心坐标为( )
A. B.
C. D.
5.如图，在棱长均为的正四面体中，，分别为，的中点，则，所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6.若函数的图象如图，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
7.已知某大厂的甲、乙车间生产的圆钢数之比为：，现在要对甲、乙两个车间生产这种圆钢的直径进行误差抽检，具体要求为按比例分层抽检根，若抽检的甲、乙车间圆钢的直径误差的平均值分别为，，误差的方差分别为，，则可以估计甲、乙车间的总体误差的方差约为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知球的半径为，两个大圆面，互相垂直，，若平面与平面的夹角为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在某次高三模拟考试后，数学老师统计了第一组的名同学第题的得分情况如下：，，，，，，，，第二组的名同学第题的得分情况如下：，，，，，，，，则( )
A. 第二组的平均数比较大 B. 两组的中位数之差的绝对值为
C. 两组的众数相等 D. 两组的极差相等
10.若将张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为，高均为的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为的一个密闭圆台及直径为的一个球不考虑损耗，则体积与其表面积之比最大的是( )
A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台
11.在中，三个角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，若，则( )
A. 的面积为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，这四个数中随机取出个不同数，则它们差的绝对值为质数的概率为______．
13.若，或，，则______．
14.若方程在上有唯一解，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，．
若，，求；
若，，求．
16.本小题分
在直三棱柱中，已知为的中点，．
求证：平面；
若，，，证明：平面．
17.本小题分
已知均为第一象限的角，．
的值；
的值．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，已知，交于，，且，令，．
判断：是否成立？请说明理由；
求的值；
证明：当时，位于外接圆的内部．
19.本小题分
在不透明的甲袋中装有相同的个红色的乒乓球，其中个球上标有数字，个球上标有数字，个球上标有数字，在不透明的乙袋中装有相同的个白色的乒乓球，其中个球上标有数字，个球上标有数字，个球上标有数字．
若，，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率；
若，，，，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，再从乙袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为，求的概率；
若，，，，将乙袋中的球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取个小球，每次取个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字的球，，是否相互独立？请说明理由．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.由，则，
又，
所以．
由，所以，
又，，
所以，
则或；
即或．
16.证明：如图，取中点，连接，，
由为的中点，可得，
又平面，平面，可得平面，
由，可得为的中点，可得，
又平面，平面，可得平面，
由，平面，平面，可得平面平面，
由平面，可得平面，得证；
如图，
由题意可得，可得，即，
又平面，平面，可得，
由，，平面，可得平面，
由平面，可得，
由于，可得四边形为正方形，可得，
又，平面，平面，可得平面．
17.因为均为第一象限的角，，
所以，，
可得
．
由，，，
可得
，可得．
18.成立，理由如下：
设，则，根据，，
中，由余弦定理得，
同理可得，所以．
在中，，
在中，，
结合，，可得，所以或，
当，即时，可得；
当时，，
此时，可得，与矛盾，此种情况不成立．
综上所述，．
根据的结论，当时，，
可得，即，结合圆周角定理，可知点位于外接圆的内部．
19.给定 ，．
甲袋： 个红球，其中标数字 的球有 个，标数字 的球有 个，标数字 的球有 个．
乙袋： 个白球，其中标数字 的球有 个，标数字 的球有 个，标数字 的球有 个．
设为从甲袋摸出的球的数字，为从乙袋摸出的球的数字．
，，．
，，．
摸出两个球数字相等的概率为：
．
给定 ，，，．
甲袋： 个红球，其中标数字 的球有 个，标数字 的球有 个，无标数字 的球．
乙袋： 个白球，其中标数字 的球有 个，标数字 的球有 个，标数字 的球有 个．
从甲袋有放回摸两个球，数字和 ：
，．
的分布：
，
，
．
从乙袋有放回摸两个球，数字和：
，，．
的分布：
，
，
．
和 独立，求 ：满足 的组合：
，：，
，：，
，：，
，：，
，：．
总和：．
给定 ，，，．
甲袋： 个红球，其中标数字 的球有 个，标数字 的球有 个，无标数字 的球．
乙袋： 个白球，其中标数字 的球有 个，标数字 的球有 个，无标数字 的球．
将乙袋球倒入甲袋后，总球数 个：标数字 的球有 个，标数字 的球有 个．
事件定义：：第一次取到红球红球共 个，：第二次取到标数字 的球标数字 的球共 个．
计算概率：，
：第二次取到标数字 的球，由全概率公式：
第一次标第一次标第一次标第一次标，
，此时剩余标数字 的球有 个，总球 个，故 ．
，此时剩余标数字 的球有 个，故 ．
．
：第一次取到红球且第二次取到标数字 的球．
有序抽取，总可能结果数：．
有利结果：
第一次取标数字 的红球有 个，第二次取标数字 的球剩余 个标数字 的球： 种．
第一次取标数字 的红球有 个，第二次取标数字 的球剩余 个标数字 的球： 种．
总和： 种．
．
验证独立性：
．
因为 ，所以事件 和 相互独立．
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