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2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.若复数的实部与虚部相等，则( )
A. B. C. D.
3.如表是某校名学生假期阅读时间单位：小时的频率分布表，现按比例分层抽样的方法从，，，四组中抽取名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是( )
分组 频数 频率
合计
A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，
4.在中，若满足，则为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5.有张相同的卡片，分别标有数字，，，，从中有放回地随机取两次，每次取张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则( )
A. B. 与为互斥事件
C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件
6.如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，过圆锥的轴的截面是边长为的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，矩形的长为，宽为，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小胡同学参加射击比赛，打了发子弹，报靶数据如下：，，，，，，，单位：环，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的分位数是：
C. 这组数据的极差是 D. 这组数据的标准差是
10.在空间直角坐标系中，，，，则( )
A. B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是
11.在中，内角，，所对的边分别为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 当时，最小值为
C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.单位向量满足，则 ______．
13.如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，且若该三棱柱的外接球的表面积为，则 ______．
14.如图，九宫格中已填入数字，，，，，随机将数字，，，填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别，，其中，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且．
证明：平面平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛比赛分为初赛和决策、初赛采用线上知识能力竞赛，共有名学生参加，从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图：
根据直方图，求的值；
估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数；
决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立求甲最终获胜的概率．
18.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且
求角；
若的面积为，
已知为的中点，且，求中线的长；
求内角的角平分线长的最大值．
19.本小题分
在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点如图将沿折起到位置，使得平面平面如图．
求证：平面；
求二面角的大小；
线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.因为，所以由正弦定理可得，
又，，所以，解得；
由可得，，，
所以，
可得，
所以．
16.证明：因为底面，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
根据题意建系如图：
则，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
所以点到平面的距离为．
17.由频率分布直方图，的频率为，的频率为，
的频率为，的频率为，
所以，解得；
由频率分布直方图，估计这次知识能力测评的平均数为：
分，
因为前三组，，的频率之和为，
所以估计这次知识能力测评的中位数为分；
因为甲最终获胜，比分可能是：，：，
设甲：获胜为事件，：获胜为事件，
所以，
，
又，两个事件互斥，
则甲最终获胜的概率为．
18.因为，
由正弦定理得，
整理可得，
由余弦定理得，
可得，
因为，
所以；
因为，
所以，
且，解得，或，，
因为为中线，
由于，
可得，
所以；
由，因为为角平分线，
可得，
解得，
由于，
当且仅当时取等号，
故．
19.证明：在梯形中，，，
，为的中点，
可得为等边三角形，四边形为菱形，
故BC，而平面，平面，
所以平面，
由得，，，
故AC，，
而平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
所以，，两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取得，
平面的一个法向量为，
故，
二面角的大小为；
设，
则，，，
的，，
设平面的一个法向量为，
与平面所成角的正弦值为，
化简得，解得舍去，
故存在，使得与平面所成角的余弦值为．
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