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2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.“为等比数列”是“为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，，现给出下列四个结论：
；
；
；
．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
7.，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和若市场上这种型号钢笔的次品率为，则( )
A.
B.
C.
D.
8.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率曲线在点处的曲率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知是数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. B. 是等比数列
C. 是递增数列 D. 能被整除
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，则 ______．
13.已知函数在处可导，若，则 ______．
14.设等比数列的前项和为，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了名品尝者，得到以下不完善的列联表．
完成以下列联表，能否有的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？
喜欢 不喜欢 合计
男性
女性
合计
根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取人，再从这人中随机选出人进行深入交流，记这人中喜欢喝啤酒的人数为，求随机变量的分布列、期望．
附：，．
17.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求，；
若有三个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案方案一：共设置道题，参加比赛的同学从第题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得分方案二：共设置道题，参加比赛的同学从第题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到道题答完为止，每题分，答对获得相应的分数，答错得分已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立．
若小明选择方案一，记为小明的累计得分，求的分布列；
为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
判断的单调性；
若恒成立，求的取值范围；
若方程有两个不同的根，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意，，
所以，
又满足上式，所以；
因为，
所以
即．
16.补全列联表如下所示：
喜欢 不喜欢 合计
男性
女性
合计
将表格数据代入公式可得，
根据小概率值可以认定有的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关；
根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为：：，
所以名品尝者中，有人喜欢喝啤酒，有人不喜欢喝啤酒，
易知随机变量的所有可能取值为：，，，
，，，
随机变量的分布列为：
．
17.因为，
所以，
因为，，
所以，
解得；
因为有三个零点，
即有三个解，
显然不是函数的零点，
所以关于的方程有三个不同的根，
即曲线与直线有三个交点．
令，
则，
因为，
所以当，时，，；
当时，，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
因为，所以当时，直线与曲线有三个交点，
故实数的取值范围是．
18.由题意，的可能取值为，，，，．
所以，，
，，
，
所以的分布列：
由可知若小明选择方案一，
则．
若小明选择方案二，记为小明的累计得分，为小明答对题目的数量，则，
又，所以，
则．
因为，所以小明应选择方案二．
19.由已知，，，
当时，，所以在和上单调递减；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在和上单调递减；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在和上单调递减；
综上所述，当时，在和上单调递减，
当时，在上单调递增，在和上单调递减，
当时，在上单调递增，在和上单调递减；
因为恒成立，
所以恒成立，
令，则令，则在上单调递增，
因为，所以，即，
由，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
证明：设，由得，，
当时，，此时，
因为，
，当时，，
所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且，
由得，，
因为函数在上单调递增，且，所以，
所以，故，
又，
所以，
令，则，
要证，只要证，即证，
即证，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以，即成立，故．
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