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2024-2025学年湖南省衡阳市常宁市直升班高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为( )
A. B.
C. D.
4.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
5.斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则( )
A. B. C. D.
6.数列中，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，在直线：上存在点，使，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，为棱的中点，为侧面的中心，点，分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.点在圆：上，点在圆：上，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为
10.在平面直角坐标系中，已知直线：不同时为，到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面：不同时为，到平面的距离为，为平面的法向量若平面：，点，则( )
A. 点 B. 若为原点，则
C. 点到平面的距离为 D. 若，则
11.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是( )
A. 曲线关于轴对称 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点坐标为______．
13.已知点，，，点在圆上运动，则的最大值为______．
14.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等比数列中，，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知三个顶点分别为，，．
求边上的高线长；
过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程．
17.本小题分
如图，三棱柱中，，，，，．
求证：平面；
直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，设半圆的半径为，点、三等分半圆，点，分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图中完成下列各题：
求在圆锥中的线段的长；
求四面体的体积；
求三棱锥与三棱锥公共部分的体积．
19.本小题分
已知动点到直线的距离是与点距离的倍，记的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
动直线与交于两点，，曲线上是否存在定点，使得直线，的斜率和为零？若存在求出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：等比数列中，，，，
解得舍负，，
所以；
，
．
16.解：，，，
直线的斜率为，
直线的方程为，化为，
点到直线的距离为，
即边上的高线长为；
由题知，直线的斜率为，
直线的方程为，即，
设，因为点平分线段，则，
点，分别在直线，上，
，解得，
直线的斜率为，
直线的方程为，即．
17.解：证明：在中，，，，
由余弦定理可得：，
所以，解得，
因为，所以在中，，
因为，，平面，，
所以平面．
由及得，，两两相互垂直，
则以为原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
设，由知，，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，则，，
所以，可得，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，解得，则，
因为在三棱柱中，，所以，
设平面的法向量，则，，
所以，可得，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则．
18.解：在图中，设圆锥的底面圆半径为，
则，解得，
因为在图中，点、三等分半圆，
所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以为等边三角形，
所以，所以，
又因为点、分别是、的中点，
所以；
，
圆锥的高，
所以，
所以，
即四面体的体积为；
连接，交于点，连接并延长交于点，
则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，
因为点、分别是、的中点，
所以为的中点，且，
所以，
所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为．
19.解：设动点的坐标为，由已知得，化简整理得，
所以曲线的方程为：；
曲线上存在定点或，使得直线，的斜率和为零，
理由如下：由已知与，联立整理得，
由已知得，且，解得，
设，，则，，
假定曲线上存在定点使得直线，的斜率和为零，即，
则，整理得，
因此可得，整理得，
因当时，恒有成立，则有，
解得或，显然点或在椭圆上．
所以曲线上存在定点或，使得，的斜率和为零．
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