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2024-2025学年河南省南阳市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，点满足，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移是个单位长度 D. 向左平移个单位长度
6.在正四棱锥中，，，点是棱的中点，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，下列命题中正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知，，设，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则的最大值为
11.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点为线段上的动点不包括端点，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱锥的体积为
B. 一定存在点，使平面
C. 一定存在点，使平面
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为______．
13.已知角的终边上有一点，则 ______．
14.如图，为了测量一条大河两岸，之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，，，在同一铅垂平面内在点测得，的俯角为，，则 ______米
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为第二象限角，且．
求和的值；
求的值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求．
17.本小题分
已知函数．
若的最小正周期为，求的单调递增区间；
若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量作：，，当不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定．
已知，求；
若向量，求证：；
记，且满足，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为为第二象限角，且，
所以，
；
．
16.解：因为，所以，
整理得：，
所以由余弦定理得：．
又因为，所以．
因为的面积为，所以，
即，解得，
由余弦定理得：，
因为，，所以，
即，因为，所以．
17.解：由题意知
，
因为的最小正周期为，且，所以，
解得，所以，
令，，
解得，，
即的单调递增区间为．
令，得，
当时，，
又在区间上恰有两个零点，即有两解，
所以，
解得，即的取值范围是．
18.证明：连接，如图所示．
在三棱柱中，，，
所以四边形是菱形，
所以，又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，
所以，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
取的中点，连接，，
又，
所以，
由知平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
在中，，，，
所以，
所以．
因为，平面，平面，所以平面，
所以到平面的距离和到平面的距离相等，
由知平面，又平面，所以，
则，
在中，易得，
由余弦定理得，
所以，
所以．
设点到平面的距离为，
又，
所以，
解得，
设直线与平面所成角的大小为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19.根据题意可知，，得；
证明：因为，，所以，
因此，同理，
所以；
根据题意可知，当为锐角时，，
当为钝角时，，
当为锐角时，
，
当时，取到最大值，
当为钝角时，
，
当，即时，取得最大值，
故最大值．
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