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2024-2025学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.随着技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.不等式的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4.若，则下列不等式变形正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，那么的长等于( )
A.
B.
C.
D.
6.将分式中的、的值同时扩大为原来的倍，则分式的值( )
A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的倍 C. 无法确定 D. 保持不变
7.若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是( )
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
8.如图， 的对角线，相交于点，点是上一点，，，则 的周长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，，垂足为则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D. ：：
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若分式的值为，则的值为______．
12.若一个三角形的三边长分别为、、，则此三角形的面积为______．
13.如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点若，，则 ______度
14.如图，直线与直线为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为______．
15.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于______．
16.如图，已知是线段上的动点不与点，重合，，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点运动到点时，则的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
分解因式：
；
．
18.本小题分
按要求解下列不等式组：
解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来；
解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19.本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
已知：如图，是的边的中点，，，垂足分别为、，且求证：是等腰三角形．
21.本小题分
如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
平移到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出；点平移后对应点的坐标为______；
请画出绕原点逆时针旋转得到的；
在的条件下，求点经过的路径长．
22.本小题分
如图，，是 的对角线上的两点，且．
求证：四边形是平行四边形．
若，，，，求四边形的面积．
23.本小题分
从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的“量产元年”目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同．
求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？
24.本小题分
借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合”数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【课本链接】
观察图，用等式表示图中图形的面积，得______，观察图，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得______：
【知识应用】
根据图所得的公式，若，，则______；
若满足，求的值．
【拓展延伸】
如图，某学校有一块梯形空地，于点，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
25.本小题分
如图，和都是等腰直角三角形，．
【猜想】如图，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
【探究】：把绕点旋转到如图的位置，连接，，中的结论还成立吗？说明理由；
【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若．，当，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
答案和解析
1.
解：，，不是中心对称图形，是中心对称图形，
故选：．
2.
解：、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：．
3.
解：，
，
则，
故选：．
4.
解：若，
两边同时乘以得，则符合题意，
两边同时减去得，则不符合题意，
当时，，则不符合题意，
两边同时除以得，则不符合题意，
故选：．
5.
解：的垂直平分线交于点，交于点，
，
的周长等于，
，
，
即，
．
故选：．
6.
解：把分式中的、分别用、代替得：
，
分式的值保持不变，
故选：．
7.
解：正多边形的外角和是，每个外角都是，
这个正多边形的边数是：，
这个正多边形是正五边形，
故选：．
8.
解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点，
，
点是上一点，，
，
是的中点，是的中点，，
，
，
的周长为，
故选：．
9.
解：由作图可得，平分，
，故选项A不符合题意；
，，
，故选项B不符合题意；
在中，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
解得，
，故选项C符合题意；
，
：：，故选项D不符合题意．
故选：．
10.
解：绕点逆时针旋转，每次旋转，
每旋转次，回到原来位置．
，
第次旋转后点的位置与第次旋转后点的位置相同．
由题意可知，第次旋转后点的对应点与点关于原点对称．
如图，过点作轴于点，
点，
，
．
，
，
，
，，
，
点的坐标为，
点的坐标为，
即第次旋转后，点的坐标为．
故选：．
11.
解：依题意得：且，
解得．
故答案是：．
12.
解：，
三边长分别为、、的三角形构成直角三角形，其中的直角边是、，
此三角形的面积为．
13.
解：由旋转得，，，
，
即．
，
，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
14.
解：直线与直线为常数，相交于点，
当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：．
15.
解：沿着方向平移到的位置，
≌，，
，，
，
，
故答案为：．
16.
解：如图，分别延长、交于点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分，
为的中点，
正好为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为的中位线，
，，
当在中点时，，
当在中点时，的值最小，
和是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
当在中点时，，
，
的最小值是，
故答案为：．
17.；
．
解：原式
；
原式
．
18. 整数解为，，，．
解：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
在数轴上表示为：
．
解不等式，得；
解不等式，得；
不等式组的解集为：．
整数解为，，，．
19.；
，．
原式
；
原式
，
当时，原式．
20.证明：，，
，
是的中点，
，
在与中
≌，
，
，
是等腰三角形．
21.作图见解析，；
作图见解析；
．
解：根据平移的性质和题意可知，向右平移个单位得到，如图即为所求；

点平移后对应点的坐标为，
故答案为：；
绕原点逆时针旋转得到的，如图即为所求；
；
由题意可得：，，
点经过的路径长为．
22.见解析；
．
证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
四边形的面积．
23.型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料；
至少购进型机器人台．
设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，
根据题意列分式方程得，，
整理得，，
解得，
经检验，是所列方程的解，
当时，，
答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料；
设购进型机器人台，则购进型机器人台，
，
解得，
是整数，
，
的最小值为，
答：至少购进型机器人台．
24.，；
；
；
．
，；
故答案为：，；
，
因为，，
所以原式，
故答案为：；
设，，
因为，
所以，，
；
因为，
，，
所以，
即，
因为，
设，，
所以，
，
即，
．
25.，；
中的结论还成立．理由如下：
如图，与交于，与交于，
由题意可知：，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
又，，
在中，
，
，
，
所以结论成立；
或．
解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
点在上，点在上，且，
，
故答案为：，；
中的结论还成立．理由如下：
如图，与交于，与交于，
由题意可知：，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
又，，
在中，
，
，
，
所以结论成立；
分两种情况讨论：
当点在线段上时，如图，过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
；
在中，，
，
在中，
；
当点在线段上时，如图，过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．

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