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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优人教版（2024）
第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面两种量是反比例关系的是（　　）
A．圆的圆周率和半径
B．圆柱体的底面积一定，体积和高
C．一个房间铺地砖，每块地砖的面积和地砖数量
D．一辆车的速度一定，路程和时间
2．下列式子中，符合代数式的书写格式的是（　　）
A．(a－b)×7 B．3a÷5b C．1 ab D．
3．已知轮船在静水的速度是，水流速度是，若轮船顺水航行，逆水航行，则轮船航行的总路程为（　　）
A． B．
C． D．
4．买一支铅笔需要 元，买一支钢笔需要 元，则买 支铅笔和 支钢笔共需要（　　）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
5．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有个点，每个图形总共的点数是，当时，的值是（　　）
A．126 B．132 C．129 D．135
6．下面各图中，不能说明与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
7．任意一个两位数，对调十位和个位数字得到一个新两位数，原两位数的5倍与新两位数的2倍的差一定是________的倍数．（　　）
A．2 B．3 C．9 D．11
8．下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（　　）
A．96 B．88 C．86 D．98
9．已知a是两位数，b是一位数，把a接写在b的后面，就成为一个三位数．这个三位数可表示成（　　）
A． B．ba C． D．
10．“学宫”楼阶梯教室，第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多4个座位，则第n排座位数是（　　）
A．m+4 B．m+4n C．n+4（m﹣1） D．m+4（n﹣1）
二、填空题
11．如果，则x和y成　 　比例；如果，则x和y成　 　比例．
12．规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案，照这 种方式摆下去，摆第 2021 个图案用　 　根火柴棒
13．聪明的小马虎在期中考试中完成了以下的填空题：
①﹣22＝4；
②若|x|＝|﹣2.5|，则x＝﹣2.5；
③若a，b是非零有理数，那么＝±2；
④若|a|＝1，b是2的相反数，则a+b＝﹣1或﹣3；
⑤一家商店将某件服装按成本价每件a元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是1.5a元；
⑥已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简2|a﹣c|﹣|b+c|的结果是2a+b﹣c．
其中小马虎做正确的有 　 　（填出正确的番号）．
14．如图，下列图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的，且每个小正方形的边长均为1，则第七个图形的周长是　 　．
…
15．如图，两个大、小正方形的边长分别是 4 cm和x cm(0<4)，用含x的式子表示图中阴影部分的面积为 　 　 cm2.
16．《孙子算经》是中国古代时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 ”其译文为：“有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．”请用含k (k为自然数）的代数式表示满足条件的所有正整数　 　.
三、计算题
17．某学校有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖．如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米？
（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？
（3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要 ▲ 元钱．
四、解答题
18．学校体育室有两个球筐，已知甲筐内的球比乙筐内球的个数的3倍还多5个．现进行如下操作：第一次，从甲筐中取b球放入乙筐：第二次，又从甲筐取出若干个球放入乙筐，这次取出的球的个数是第一次操作后乙筐内球的个数的2倍．若设乙筐内原来有a个球，两次操作后，某同学将甲、乙两筐内球的个数整理如表：
球的个数/ 操作前后 甲筐内球的个数 乙筐内球的个数
操作前 ① a
第一次操作后 3a﹣b+5 a+b
第二次操作后 ② 3a+3b
（1）在表格中，①处代数式为 　 　，②处代数式为 　 　；（用含a、b的式子表示）
（2）当a＝4，b＝2时，第二次操作后，甲筐比乙筐内球的个数多还是少，多或少几个球？
19．如图，将边长为2的小正方形和边长为x的大正方形放在一起。
（1）用含x的代数式表示阴影部分的面积；
（2）当x=5时，计算阴影部分的面积。
20．已知一个三位数，十位数字是a，百位数字是十位数字的2倍，个位数字比十位数字小2.
（1）试用a表示这个三位数.
（2）试写出所有符合条件的三位数.
21．如图，国庆来临时，某公司在广场上画出相同大小的正方形组成图案，用来摆放盆景，庆祝国庆．观察下列图形规律，完成下列任务：
图1 图2 图3 图4
（1）第5个图案中有小正方形 　 　个，第n个图案中有小正方形　 　个（用含n的式子表示，填最简形式）﹔
（2）若小正方形的边长为1m．
（ⅰ）第5个图案的周长为 m；第n个图案的周长为 m（用含n的式子表示，填最简形式）；
（ⅱ）若第n个图案的周长为2026m，求小正方形的个数．
22．如图，某农场有一块土地，可以看成两个长方形（有重叠），经测量阴影部分面积占整个小长方形面积的，也相当于整个大长方形面积的．
（1）请直接写出小长方形中空白部分面积与大长方形中空白部分面积之比为　 　．
（2）若阴影部分土地种植玉米，大长方形中空白部分土地种植大豆，小长方形中空白部分土地种植高粱，且种植高粱的土地面积比种植大豆的土地面积的多4亩，求该农场种植大豆、高粱、玉米分别多少亩．
（3）在（2）的条件下，该农场甲、乙两个收割队承担全部收割任务，甲收割队与乙收割队人数之比为5：4．若甲、乙两个收割队的人均收割亩数相等，则甲收割队的收割总亩数比人均收割亩数的10倍多2亩，乙收割队的收割总亩数比人均收割亩数的8倍少2亩，求甲、乙两个收割队各有多少人．
23．已知∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC．射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠DOC．
（1）如图1，射线OD在∠AOC的内部．
①求∠BOC的度数；
②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOD＝n°（0＜n＜60），直接写出∠BOE的度数（用含n的式子表示）．
参考答案及试题解析
1．C
【解答】解：A、圆的圆周率是常数，和半径没有关系，A错误；
B、圆柱体的底面积一定，体积和高是正比例关系，B错误；
C、一个房间的总面积＝每块地砖的面积×地砖数量，满足反比例关系，C正确；
D、一辆车的速度一定，路程和时间是正比例关系，D错误；
故答案为：C．
【分析】两种变量相对应的两个数的积一定，这两种量成反比例，由此判断即可．
2．D
【解答】解：选项A正确的书写格式是7（a b），
选项B正确的书写格式是 ，
选项C正确的书写格式是 ，
选项D的书写格式是正确的．
故选：D．
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
3．A
【解答】顺水的速度为：(a+y) km/h 逆水的速度为：(a-y) km/h， 则总航行路程等于3(a+y)+1.5(a-y)= (4.5a+1.5y)km ；
故选：B。
【分析】分别表示出顺水和逆水的速度，然后求出总路程即可。
4．A
【解答】解：则买 支铅笔和 支钢笔共需要 元．
故答案为：A．
【分析】先求出买 支铅笔的费用为m元， 支钢笔的费用为5n元，将两者相加即得结论.
5．B
【解答】解：当时，图形中有个点，
当时，图形中有个点，
当时，图形中有个点，
当时，图形中有个点，
，
当时，图形中有个点，
即，
故答案为：C
【分析】根据题意计算n=2，n=3，n=4，n=5时图形中的点数，进而即可得到，再结合题意将n=45代入即可求解。
6．A
【解答】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等．
B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等．
C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等．
D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等．
故答案为：A
【分析】根据题意逐项列式计算，结合乘法分配律即可求出答案.
7．B
【解答】解：令原两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，
则这个两位数是：，
则新两位数的个位上的数字为b，十位上的数字为a，
则这个两位数是：，
∴原两位数的5倍与新两位数的2倍的差为：
，
故该数一定是3的倍数．
故答案为：B
【分析】令这个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，再根据题意列出相应的式子求解即可求出答案.
8．A
【解答】解：第①个图形中三角形有：（个），
第②个图形中三角形有：（个），
第③个图形中三角形有：（个），
，
依此类推，第个图形中三角形有（个），
所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个），
所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）．
故答案为：A．
【分析】根据图中三角形的个数得到规律：第个图形中的个数为，然后把n=8代入计算解题．
9．C
【解答】解：a是两位数，b是一位数，依据题意可得b扩大了100倍，所以这个三位数可表示成100b+a．
故答案为：C．
【分析】两位数的表示方法：十位上的数字10+个位上的数字；三位数的表示方法：百位上的数字100+十位上的数字10+个位上的数字；结合题意即可求解。
10．D
【解答】解：第一排有m个座位，
则第二排有m+4=m+4×（2-1）个座位，第三排有m+4+4=m+4×（3-1）个座位，第四排有m+4+4+4=4×（4-1）个座位，……
∴第n排座位数是m+4（n-1）.
故答案为：D.
【分析】根据给出的规律总结，可得出n排共增加了4（n-1）个座位，再加上m即可.
11．正；反
12．8085
【解答】解：观察图形的变化可知：
摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5；
摆第2个图案要用火柴棒的根数为：9=5+4=5+4×1；
摆第3个图案要用火柴棒的根数为：13=5+4-4=5+4×2；
则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：
5+4(n-1)=4n+1；
故第2021个图案要用火柴棒的根数为：
4×2021+1=8085.
故答案为：8085.
【分析】观察图形的变化即可得第1个图形火柴棒的个数：摆第2个图案要用的火柴棒；摆第3个图案要用的火柴棒；即可得第n个图形的火柴棒个数，从而可求解.
13．④，⑥
【解答】解：，故①小马虎答错；
若，则，故②小马虎答错；
当，都是整数时，，当，都是负数时，，当，异号时，，故③小马虎答错；
若，是2的相反数，则，，可得或，故④小马虎答正确；
一家商店将某件服装按成本价每件元提高标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（元，故⑤小马虎答错；
由图可知，，故⑥小马虎答正确；
故答案为：④，⑥．
【分析】根据列代数式，化简绝对值，乘方，相反数，有理数的除法逐一计算后判定。
14．42
【解答】解：由题意得第1个图形的周长是，
第2个图形的周长，
第3个图形的周长是
…，
所以第n个图形的周长是6n，
所以第7个图形的周长是6×7＝42．
故答案为：42
【分析】先根据题意得到第n个图形的周长是6n，进而代入7即可求解。
15．
【解答】解：阴影部分的面积可以表示为：
（cm2）.
故答案为：
【分析】用两个大正方形的面积和－三个小三角形的面积，即可得到阴影部分的面积.
16．105k+23
【解答】解：∵一个正整数，除以3余2，除以7也余2
∴这个正整数除以21也余2
∵除以21余2的最小正整数是23
而
∴满足条件的最小正整数为23
∵3、5、7的最小公倍数为3×5×7=105
∴满足条件的所有正整数 可以表示为： 105k+23
故答案为： 105k+23。
【分析】根据余同先求出除以21余2的最小正整数，再求出除以5余3的最小正整数，最后利用最小公倍数将所有正整数用代数式表示出来。
17．（1）解：铺设地砖的面积为（6a+2b）（4a+2b）-2（a+b）2
=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2
=（22a2+16ab+2b2）平方米.
（2）解：当a=2，b=3时，
原式=22×22+16×2×3+2×32
=202（平方米），
所以需要铺地砖的面积为202平方米.
（3）解：202÷0.22×1.5=7575（元），
故答案为：7575.
【解答】（1）根据铺设地砖的面积=长方形空地的面积-建筑物A、B的面积即可求解；
（2）把a=2，b=3时代入（1）化简结果计算即可求解；
（3）根据需要的地砖的块数乘以单价即可列式求解.
18．（1）3a+5；a﹣3b+5
（2）解：由题意得：（a﹣3b+5）﹣（3a+3b）
＝a﹣3b+5﹣3a﹣3b
＝﹣2a﹣6b+5，
当 a＝4，b＝2 时，原式＝﹣2×4﹣6×2+5＝﹣8﹣12+5＝﹣15，
答：第二次操作后，甲筐比乙筐内球的个数少，少15个球．
【解答】解：（1）∵甲筐内的球比乙筐内球的个数的3倍还多5个，
∴操作前，甲筐内球的个数是（3a+5）个，
∵第二次，又从甲筐取出若干个球放入乙筐，这次取出的球的个数是第一次操作后乙筐内球的个数的2倍，
∴第二次操作后，甲筐内球的个数是3a-b+5-2（a+b）=（a-3b+5）个，
故答案为：3a+5；a-3b+5.
【分析】（1）根据题干中的操作方法，分别求出操作前和第二次操作后甲筐内球的个数即可；
（2）先求出第二次操作后甲筐和乙筐内球的个数的关系为（a﹣3b+5）﹣（3a+3b）=﹣2a﹣6b+5，再将a、b的值代入计算即可.
19．（1）解： 阴影部分的面积为：
=
（2）解：当 时， 原式
【解答】（1）根据阴影部分的面积=两直角边分别为2与(x+2)的三角形的面积+两直角边分别为x的直角三角形的面积，列式计算即可；
（2）将x=5代入（1）所得式子按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
20．（1）解：由题意得这个三位数的十位数字是a，个位数字是a-2，百位数字是2a，则这个三位数为2a×100+a×10+a-2=211a-2.
（2）解：由于211a-2是三位数，则a可以为4，3，2，所以这个三位数可以是842，631，420.
【解答】首先，根据题目条件，设这个三位数的十位数字是a，从而确定百位和个位数字. 接着，利用三位数的表示方法，将这个三位数表示为一个关于a的表达式. 然后，根据三位数的取值范围，确定a的可能取值，并代入表达式，得到所有可能的三位数. 最后，根据题目条件，筛选出符合条件的三位数.
21．（1）16；
（2）解：（ⅰ）34 ；
（ⅱ）根据题意．得．
解得，．
答：有小正方形1012个
【解答】（1）根据给出的四个图形总结出规律即可求解.
（2） （ⅰ） 分别算出的前四个图形的周长，总结出规律即可求解.
（2） （ⅱ） 根据（ⅰ）中总结的规律，把周长2026代入即可求解.
22．（1）3：5
（2）解：设高粱种植了x亩，则由（1）知，种植大豆为亩，
根据题意得，， 解得：，
即种植高粱为24亩，大豆为亩，
∴种植玉米为（亩），
答：该农场种植大豆40亩、高粱24亩、玉米8亩；
（3）解：农场总种植面积为：40+24+8=72（亩），
设人均收割亩数为a，
则10a+2+8a-2=72， 解得a=4亩，
设甲队人数为y，乙队人数为，则
解得： 则
答：甲、乙两个收割队各有10人、8人．
【解答】解： (1)设阴影部分的面积为s亩，根据题意得，小长方形面积为4s亩，大长方形面积为6s，
∴小长方形中空白部分面积与大长方形中空白部分面积之比为（4s-s）：（6s-s）=3：5.
故答案为：3：5；
【分析】（1）设阴影部分的面积为s亩，根据题意列式计算即可；
（2）设高粱种植了x亩，则由（1）知，种植大豆为亩，根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）首先求得农场总种植面积为40+24+8=72（亩），设人均收割亩数为a，甲队人数为y，乙队人数为，再列方程即可得到结论．
23．（1）解：①∵∠AOB=75°，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=4∠BOC，
∴5∠BOC=∠AOB，
∴；
②∵OE平分∠DOC，
∴∠EOC=∠DOE，
∴∠DOB=2∠EOC+∠COB，
∵∠EOC与∠DOB互余，
∴∠DOB+∠EOC=90°，
∴2∠EOC+∠COB+∠EOC=90°，
∴3∠EOC+∠COB=90°，
∵由①得∠COB=15°，
∴3∠EOC+15°=90°，
∴∠EOC=25°.
（2）解：当射线OD在∠AOC的内部，
∵∠AOB=75°，∠AOD=n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC=15°，
∴∠DOC=∠AOB-∠AOD-∠BOC=75-n-15=（60-n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴
∴；
当射线OD在∠AOC的外部，
∵∠AOB=75°，∠AOD=n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC=15°，
∴∠DOC=∠AOB+∠AOD-∠BOC=75+n-15=（60+n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴
∴
综上所述，∠BOE的度数为或.
【解答】（1）①根据已知条件∠AOC=4∠BOC．可知5∠BOC=∠AOB，计算出∠BOC即可；
②根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EOC=∠DOE，推得∠DOB=2∠EOC+∠COB，根据若两角之和满足90°，那么这两个角互为余角可得∠DOB+∠EOC=90°，推得3∠EOC+∠COB=90°，即可求解；
（2）分情况讨论：当射线OD在∠AOC的内部，求出∠EOC，根据∠BOE=∠EOC+∠COB即可求解；当射线OD在∠AOC的外部，求出∠EOC，根据∠BOE=∠EOC+∠COB即可求解.
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