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浙江省诸暨市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．要使分式的值为0，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
2．空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比最适合使用的统计图是（ ）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图
3．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（ ）
A．5 B．100 C．500 D．1000
4．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值( )
A．扩大倍 B．缩小倍 C．不变 D．扩大倍
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．已知可分解因式为，则的值是（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
10．若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题
11．因式分解 ．
12．已知方程，用关于x的代数式表示y，则 ．
13．某中学随机抽取了10名学生，统计他们上一年参与志愿者活动的次数，数据如下（单位：次）：3，5，2，4，3，6，4，5，3，1，则志愿者活动次数是3的频率是 ．
14．若，则 ．
15．如图，已知，，，则 ．
16．若关于的分式方程有增根，则m的值是 ．
17．甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是 ．
18．现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．解下列方程（组）：
(1)；
(2)．
21．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值．
22．某校为七年级学生提供了“科学实验”，“趣味棋艺”，“喵历史”，“时光合唱”四种课后服务项目，为了解学生最喜欢哪个项目，随机抽取了该校七年级部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计表和扇形统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被抽查的学生有多少名？
(2)请补全条形统计图；“喵历史”项目所对应的扇形圆心角度数为多少度？
(3)若该校七年级学生有600人，根据抽查结果，试估计全校七年级喜欢“趣味棋艺”项目的学生有多少人？
23．如图，已知．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
24．年春晚吉祥物“龙辰辰”，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜爱．某商店，第一次用元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件．
(1)求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价；
(2)若两次购进的“龙辰辰”玩具每件售价均为元，且全部售完，求两次的利润总和．
25．规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：①；②（其中为常数）．
(1)计算：______，______；
(2)已知，求的值．
(3)已知（其中m，n均不为0，化简并计算：．
26．如图1，某一动直线分别截两平行直线a，b于点A，B，点C为直线b上（位于点B右侧）一点，满足，角平分线交直线a于点D．在直线a上，点D左侧任取一点E，点A右侧任取一点F；在直线b上，点B左侧任取一点G，点C右侧任取一点H．右边取点I满足，满足，交直线于点J，的角平分线交于点K．设（且）．
(1)若，求的度数，写出过程；若，直接写出的度数；
(2)若，求α的度数；
(3)若，求α的度数．
参考答案
1．D
解：分式的值为0，
且，
解得：，
故选：D．
2．B
解：条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别，故A选项不符合题意；
扇形统计图中用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小，故B选项符合题意；
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势，故C选项不符合题意；
频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势，故D选项不符合题意．
故选：B．
3．C
解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，
∴次品所占的百分比是：，
∴这一批次产品中的次品件数是：（件），
故选C．
4．C
把分式中的和都扩大倍，分式变为，
故选C.
5．D
根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算作出判断：
.
故选D.
6．A
解：A．，是两平方项相减的形式，能运用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
B．，不是两平方项相减的形式，不能运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C．，不是两平方项相减的形式，不能运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
D．，该多项式是三项式，不能运用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意．
故选：A．
7．B
解：平分，，
，
，
故选：B．
8．A
解：由平移的性质可知，，
，
，
平移的距离为3，
故选：A．
9．B
解：
由题意可得，，
∴，.
∴．
故选：B．
10．D
解：设，则，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
故选D．
11．
解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．
解：，
则，
故答案为：．
13．0.3
解：志愿服务次数是3的频率为，
故答案为：．
14．20
解：当时，
．
故答案为：．
15．
解：如图，作，则，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．6
解：，
去分母得：，
整理得：，
∵分式方程有增根，
∴，解得：。
故答案为：6．
17．
解：由题意得：，
解得：，
把代入原方程得，
解得： ．
故答案为：．
18．
解：图2中阴影部分的周长，面积；
图2中阴影部分的周长，面积；
∵，
∴，整理得：，
∴，
∴．
故答案为：．
19．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)
(2)
（1）解：，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为：
21．；
解：
，
∵，
∴当时，原式
22．(1)本次被抽查的学生有50名
(2)补全条形统计图见解析，“喵历史”项目所对应的扇形圆心角度数为
(3)估计全校七年级喜欢“趣味棋艺”项目的学生有144人
（1）解：（名）
答：本次被抽查的学生有名；
（2）解：喜欢“喵历史”项目的人数为：（人）
补全条形统计图如下：
喜欢“喵历史”项目所对应的扇形圆心角为；
（3）解：（人）
答：估计全校七年级喜欢“趣味棋艺”项目的学生有144人．
23．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
，
∵
．
24．(1)元/件
(2)元
（1）解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元/件；
（2）解：由题意知，第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元，
∵（元），
∴两次利润总和为元．
25．(1)；
(2)
(3)2
（1）解：由题意知，，，
故答案为：，；
（2）解：由题意知，，
∴，，
解得，，
（3）解：由题意知，，，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴的值为2．
26．(1)的度数为，过程见解析，的度数为15°
(2)α的度数为
(3)α的度数为
（1）解：当时，如图1，
∵，
∴，
∴，，
∵的角平分线为，
∴，
∴；
∴当时，；
当时，如备用图1，
同理可得：，，
∴，
∴，
∴．
当时，，
（2）解：当时，如图1，此时，
∵，即∴，解得：（不合题意，舍去）．
当时，备用图1，此时，
∵，即，解得：．
（3）解：当时，如图1，∵，
∵，
∴，解得：．
当时，如图2，由（1）可知∵，
∴
∵，
∴，解得：．
当时，如图3，由（1）可知∵，
∴，
∵，
∴，解得：．

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