资源简介

山东省济南市东南片区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．2的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列关于天气的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．太阳能是储量巨大的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为米．其中数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知的周长为13，，则的长为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
6．已知a，b，c是的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16° B．28° C．44° D．45°
8．如图是一个H型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面积是乙水箱底面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处(体积忽略不计)，现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．下列图象能大致反映甲水箱的水面高度y与注水时间x之间关系的图象是（）
A． B．
C． D．
9．如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项(不考虑顺序)，以下是该班的报名表：
项目类型 A B C D E
报名人数 15 10 13 10 12
若选择组合的刚好有10人，则选择组合的人数是（　　）人
A．15 B．12 C．10 D．8
二、填空题
11．如图，已知，则的度数为 ．
12．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ．
13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 ．

14．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为 ．

15．如图，，，，点是射线上的动点，以为边在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
17．先化简，再求值：，其中，
18．请阅读下面的推理过程，并填空（填写理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．请说明：
证明：如图2，延长交于点P
∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴ ___________（等量代换）
∴（ ）
∴___________（两直线平行，同旁内角互补）
又∵___________ （已知）
∴（ ）
∴（ ）
19．如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：．
20．（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上．
①的长度为 ___________；的面积=___________；
②在图（1）中作出关于直线l对称的；
③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图）
（2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上．
①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出；
②符合条件的格点C有___________个．
21．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）．
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个．
22．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值．例如：求的最小值．
解：，，，
所以当时，即当时，有最小值，最小值为1．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________；
（2）的最小值等于___________；
（3）当___________时，多项式有最___________值，是___________；
【知识迁移】
（4）代数式的最小值为___________．
23．如图1，长方形中，，动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上的速度为每秒1个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，在边上的速度为每秒3个单位长度．设运动时间为x 秒，的面积为S，S与x的关系图象如图2所示．
(1) ___________， ___________；
(2)当时，求x的值；
(3)如图3，连接，当点P在线段的垂直平分线上时， ___________；当点P在的角平分线上时， ___________．
24．本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题．
【问题】
如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值．
【特殊化】
（1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________．
【一般化证明】
（2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：．
【迁移应用】
（3）已知等边三角形，．
①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________；
②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________；
③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________．
25．类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
(1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点但不与边相交，过点作于点，过点作于点．小明同学分析图形关系，发现了，以及三角形全等，在此基础上，请进一步探索并直接写出，，之间的数量关系：___________；
(2)如图，在中，，点，分别在边，上，，且．若，，求的长度（用含，的代数式表示）；
(3)如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接，；
探索与的数量关系并说明理由；
在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当点共线时，直接写出线段的长．
参考答案
1．C
解：∵，
∴2的算术平方根是，
故选：C．
2．D
解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形不是轴对称图形，不符合题意；
D．图形是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
3．B
解：，
故选：B．
4．C
解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5．B
由题意得，，
是的垂直平分线
∴
∵的周长为13，
∴
∴，即，
∴．
故选：B．
6．D
解：A．由，设，，，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意；
B．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意．
C．由可得，，不能判定是直角三角形，不合题意；
D．由可得即，满足勾股定理逆定理，能判定是直角三角形，符合题意；
故选：D．
7．C
解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
8．A
解：阶段一：注水开始，水只注入甲水箱．由于甲水箱是圆柱体，底面积固定，水匀速注入，根据（是水位高度，是注入水的体积，是甲水箱底面积），水位随时间匀速上升，对应图象是从原点开始缓慢上升的线段．
阶段二：当甲水箱水位到达连接管位置，此时继续注水，水会通过连接管流入乙水箱．因为甲水箱底面积是乙水箱的倍，相同时间注入相同体积的水，根据，乙水箱水位上升速度是甲水箱阶段一的倍．要使乙水箱水位从初始到连接管位置（和甲水箱到达连接管位置时的水位变化量相同），根据（是时间，是水位变化量，是水箱底面积，是注水速度），乙水箱水位上升时间是甲水箱阶段一的一半，即阶段二时间是阶段一的一半，此阶段甲水箱水位保持不变，对应图象是水平线段．
阶段三：当乙水箱水位也到达连接管位置后，再注水时甲乙水箱同时升高．此时相当于向两个连通的水箱注水，甲水箱底面积大，根据（、分别是甲乙水箱底面积），水位上升速度比阶段一慢，对应图象是上升但坡度比阶段一小的线段．
综上，注水过程分三个阶段，结合各阶段时间和水位变化特点，阶段二时间是阶段一的一半，阶段三水位上升速度变慢．符合的图象是A选项；
故选：A．
9．B
解：过点E作，
∵是的平分线，于F，
∴，
设，
∵是中线，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：B．
10．D
解：∵每位同学选2项，总报名人次为，
∴班级共有人．
∵项目B的总人数为10，且选组合的有10人，
∴其他含B的组合人数为，即．
∵项目D的总人数为10，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵项目A的总人数为15，
∴．
代入，得
∵项目C的总人数为13，
∴．
代入，得
．
∵项目E的总人数为12，故
∴．
代入，得
．
由，得．
由，得．
代入，得
，解得．
综上，选择组合的人数为8人，
故选：D．
11．/度
解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．3
解：分两种情况：
①时，
在中，，符合题意；
②时，
在中，，不能构成三角形，不符合题意；
综上所述，线段的长为3，
故答案为：3．
13．
解：设小正方形面积为，
飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成，
飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为，
飞镖扎在阴影区域的概率是，
故答案为：．
14．5
解：设DE=x，则AE=8-x．
根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE=x．
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=（8-x）2+16，
解得x=5．
故答案为：5．
15．
解：如图，以为边在下方作等边，连接，交于点，
∴ ，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
则当点三点共线时，如图，
∴最小，即最小，为，
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
解：
，
当，时，原式．
18．；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等
证明：延长交于点P
∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴ （等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
又∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（同角的补角相等）
19．见解析
证明：∵，
则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．（1）①，5；②见解析；③见解析
（2）①见解析；②4
】（1）解：①：以为边作正方形，
则
∴（舍负），
的面积，
故答案为：，；
②如图所示，即为所求；
③如上图，点即为所求；
（2）解：①如图所示，即为所求；
②由图可知，符合条件的格点有个，
故答案为：．
21．(1)0.6
(2)，
(3)白色12个，黑色8个
（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
故答案为：0.6．
（2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是．
故答案为：，．
（3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球个，黑球个．
22．（1）9；（2）1；（3）3，大，12；（4）6．
（1）解：∵，
∴是完全平方式，
故答案为：9；
（2）解：
，
，
∴当时，即时，有最小值1，
故答案为：1；
（3）解：
，
，
，
当时，即时，多项式有最大值，最大值是12，
故答案为：3，大，12；
（4）解：
，
，
代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：6．
23．(1)8，12
(2)或11
(3)
（1）解：由题意可知，在边上运动时，
面积为，
解得，
点P在边上的速度为每秒1个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，在边上的速度为每秒3个单位长度．
∴，
故答案为：8，12；
（2）解：当时，有两种情况：
当点P在边上时，
，
解得，
当点P在边上时，
，
解得，
综上可知，或11；
（3）解：连接，当点P在线段的垂直平分线上时，如图，连接，设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
当点P在的角平分线上时，作于点Q，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：；
24．（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③
（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高，
是等边三角形，，则．
过作于，则为中点（等边三角形三线合一），．
在中，
，即．
把，代入可得：
，
此时，，
所以．
故答案为．
（2）作交于点，连接，
，
，
，
，
；
（3）①连接、、，作
将分割为、、，
∴．
过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．
∴，，，
∴．．．
．
因为是等边三角形，
所以．
将上述面积关系代入可得：
．
在等边三角形中，，
由（1）得等边三角形的高公式（为边长），
可得．
所以．
故答案为：；
②连接
将图形分割为和，
∴．
对于，以为底，为高，面积．
对于，以为底，为高，面积．
对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积．
∵是等边三角形，
∴．
将上述面积关系代入可得：
得．
在等边三角形中，，
由（1）得等边三角形的高公式（为边长），
∴，
，
∴；
故答案为：；
③延长至，使，连接．
∵是等边三角形，
∴，，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
在和中：
∴．
∴，．
∵，
∴，即．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，且，
∴．
25．(1)；
(2)；
(3)，理由见解析；．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：，理由，
如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵点共线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∵，
∴，
∴，
∴．

展开更多......

收起↑