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第1章 相交线与平行线 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 颍上县期末）DeepSeek的图标设计以触鱼为核心元素，象征着DeepSeek在人工智能领域的深度探索精种，以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 桐城市期末）若∠1与∠2是内错角，则∠1与∠2（　　）
A．不可能互余 B．一定相等
C．可能互补 D．一定互余
3．（2025春 曾都区期末）如图是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（　　）
A．同位角相等两直线平行
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
4．（2025春 庐江县校级月考）a、b、c、d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是（　　）
A．因为a∥b，b∥c，所以d∥c
B．因为a∥d，b∥c，所以d∥c
C．因为a∥d，b∥d，所以a∥b
D．因为a∥d，a∥b，所以c∥d
5．（2025春 武城县期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是（　　）
A．∠1+∠4＝180° B．∠3+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4
6．（2025 冷水江市三模）如图，AB∥CD，点O在直线AB上，OE⊥OF，OE交CD于点G，若∠BOF＝32°，则∠CGE的度数为（　　）
A．48° B．58° C．122° D．148°
7．（2025春 海阳市期末）如图，将含30°角的直角三角尺DEF放置在三角形纸片ABC上，30°角的顶点D在边AB上，且DE⊥AB，若BC∥DF，则∠B的度数为（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
8．（2025春 容县期末）如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知AB∥DC，DF∥CG，∠FMB＝76°，则∠ABC的度数为（　　）
A．76° B．40° C．38° D．36°
9．（2025春 孝昌县期中）如图所示，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，设DE交AC于点G．给出下列结论：①四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等；②AD∥EC，且AD＝EC；③若BF＝8cm，EC＝2cm，那么三角形DEF向右平移了2cm，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2025春 砀山县期末）如图，四边形ABDC中，AF平分∠BAC交BD的延长线于点F，CE平分∠ACD交DB的延长线于点E，AF与CE交于点P，∠1+∠2＝90°，下列结论不正确的是（　　）
A．AB∥CD
B．∠ABE+∠CDF＝180°
C．若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F
D．AC∥BD
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 新城区期末）图中与∠1构成同旁内角的角有　 　 个．
12．（2025春 曾都区期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　 　 °时，木条a与b平行．
13．（2025春 海州区期末）为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为600m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 　 　 m．
14．（2025春 黄石期末）直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠AOC：∠COE＝2：1，则∠AOD＝ 　 　 ．
15．（2025春 蒙阴县期末）在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　 　 ．
16．（2025春 镜湖区校级期末）如图，AB∥CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝80°．
（1）∠CDE＝　 　 °；
（2）若∠ABC＝x°，则∠BED＝　 　 °（用含x的式子表示）．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 砀山县期末）如图，直线AB，CD被直线AC所截，连接BD，交AC于点F，过点D作射线DE，若∠B＝∠BDC，∠A＝∠CDE，求证：AC∥DE．
18．（2025春 福田区校级期末）如图，在正方形网格中，点A、B、A1都在格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的位置关系是　 　 ，数量关系是 　 　 ；
（3）若每个小正方形边长为1，线段AB扫过的面积是　 　 ．
19．（2025春 邯郸期中）如图所示的是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角∠1跳到终点角∠3，可以走以下两条不同的路径：
路径1：∠1∠9∠3．
路径2：∠1∠12∠6∠10∠3．
试一试：
（1）写出一条从起始角∠1跳到终点角∠8的路径；
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？若能，写出其路径；若不能，请说明理由．
20．（2025春 双滦区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝54°，∠AOD＝3∠AOE．
（1）求∠COE的度数；
（2）过点O画射线OF⊥CD，并求出∠EOF的度数．
21．（2025春 灵武市期末）如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，已知∠1＝100°，∠2＝115°，∠3＝65°．
（1）请判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）求∠4的度数．
22．（2025春 阜阳期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OM⊥AB．
（1）若∠AOC＝36°，求∠COM的度数；
（2）若∠AOD：∠BOD＝3：1，求∠MOD的度数．
23．（2025春 高陵区期末）如图，直线PM∥EN，点A在PM上，点B在EN上，连接AB，PB，BC平分∠PBN交直线PM于点C，∠MAB＝60°．
【问题提出】
（1）如图1，若∠CPB＝40°，求∠ABC的度数；
【问题解决】
（2）如图2，点A在点P的右侧，若BD平分∠PBA交直线PM于点D，求∠DBC的度数．
24．（2025春 濮阳期末）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线AB外一点P画CD∥AB的方法．
（1）小明的作法：通过折纸的方式．
第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点B′落在AB上，折痕PQ与AB相交于点Q，打开纸张铺平；
第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕CD⊥PQ，打开纸张铺平（如图4）；
小明说CD∥AB．
请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据．
证明：
∵∠AQB＝180°，
∴∠　 　 ，…理由是（角平分线的定义）
∵CD⊥PQ，
∴∠　 　 ＝90°，…理由是：（　 　 ）
∴∠CPQ＝∠PQB．
∴CD∥AB．…理由是：（　 　 ）
（2）小婷的作法：用一把直尺与一个三角板．
第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与AB重合；
第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P；
第三步：如图7，过点P画直线PS．
小婷说，PS就是过点P平行于AB的一条直线，小婷这样做的理由是　 　 ．
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
（3）小题的作法：用一个三角板
小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB．且过点P的直线”．
请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 相交线与平行线 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 颍上县期末）DeepSeek的图标设计以触鱼为核心元素，象征着DeepSeek在人工智能领域的深度探索精种，以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移变换的定义判断即可．
【解答】解：能通过如图平移得到的是选项C，
故选：C．
2．（2025春 桐城市期末）若∠1与∠2是内错角，则∠1与∠2（　　）
A．不可能互余 B．一定相等
C．可能互补 D．一定互余
【答案】C
【分析】根据内错角的定义以及平行线的性质和判定逐项进行判断即可．
【解答】解：A．当∠1＝∠2＝45°时，两直线平行，此时∠1与∠2可能互余，因此选项A不符合题意；
B．当两直线平行时，内错角相等，当两直线不平行时，内错角不相等，因此选项B不符合题意；
C．内错角可能互补，即∠1+∠2＝180°，因此选项C符合题意；
D．内错角可能互余，也可能不互余，因此选项D不符合题意．
故选：C．
3．（2025春 曾都区期末）如图是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（　　）
A．同位角相等两直线平行
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】根据垂线段最短作答即可．
【解答】解：∵跳远成绩应该是离起跳线最近点到起跳线的最短距离，
∴测量线段BN的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短，
故选：D．
4．（2025春 庐江县校级月考）a、b、c、d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是（　　）
A．因为a∥b，b∥c，所以d∥c
B．因为a∥d，b∥c，所以d∥c
C．因为a∥d，b∥d，所以a∥b
D．因为a∥d，a∥b，所以c∥d
【答案】C
【分析】根据平行公理对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为：因为a∥b，b∥c，所以a∥c，故本选项错误；
B、由a∥d，b∥c无法得到d∥c，故本选项错误；
C、因为a∥d，b∥d，所以a∥b正确，故本选项正确；
D、应为：因为a∥d，a∥b，所以b∥d，故本选项错误．
故选：C．
5．（2025春 武城县期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是（　　）
A．∠1+∠4＝180° B．∠3+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4
【答案】D
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由∠1+∠4＝180°，∠2+∠4＝180°，得到∠1＝∠2，判定a∥b，故A不符合题意；
B、由对顶角相等得到∠3和∠4的对顶角互补，判定a∥b，故B不符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定a∥b，故C不符合题意；
D、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定a∥b，故D符合题意．
故选：D．
6．（2025 冷水江市三模）如图，AB∥CD，点O在直线AB上，OE⊥OF，OE交CD于点G，若∠BOF＝32°，则∠CGE的度数为（　　）
A．48° B．58° C．122° D．148°
【答案】C
【分析】由题意易得∠BOE＝58°，则有∠OGD＝122°，然后问题可求解．
【解答】解：∵OE⊥OF，∠BOF＝32°，
∴∠BOE＝∠EOF﹣∠BOF＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠OGD+∠BOE＝180°，即∠OGD＝122°，
∴∠CGE＝∠OGD＝122°；
故选：C．
7．（2025春 海阳市期末）如图，将含30°角的直角三角尺DEF放置在三角形纸片ABC上，30°角的顶点D在边AB上，且DE⊥AB，若BC∥DF，则∠B的度数为（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【分析】先根据平角的定义得出∠ADF的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠ADF＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
∵BC∥DF，
∴∠B＝∠ADF＝60°，
故选：B．
8．（2025春 容县期末）如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知AB∥DC，DF∥CG，∠FMB＝76°，则∠ABC的度数为（　　）
A．76° B．40° C．38° D．36°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠GCO＝∠BNG＝∠FMB＝76°，∠ABC＝∠BCO，根据折叠的性质得出∠GCB＝∠BCO＝38°，进而得出∠ABC的度数．
【解答】解：如图，
∵AB∥DC，DF∥CG，∠FMB＝76°，
∴∠GCO＝∠BNG，∠BNG＝∠FMB＝76°，
∴∠GCO＝76°，
由折叠的性质得∠GCB＝∠BCO＝38°，
∵AB∥DC，
∴∠ABC＝∠BCO＝38°，
故选：C．
9．（2025春 孝昌县期中）如图所示，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，设DE交AC于点G．给出下列结论：①四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等；②AD∥EC，且AD＝EC；③若BF＝8cm，EC＝2cm，那么三角形DEF向右平移了2cm，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据平移的性质逐项判断即可得出答案．
【解答】解：由平移的性质可得：S△ABC＝S△DEF，AD∥EC，且AD＝BE，BE＝CF，故②错误；
∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，即四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等，故①正确；
若BF＝8cm，EC＝2cm，那么BE＝CF＝（BF﹣CE）÷2＝3cm，即三角形DEF向右平移了3cm，故③错误，
综上所述，正确的有①，共1个，
故选：B．
10．（2025春 砀山县期末）如图，四边形ABDC中，AF平分∠BAC交BD的延长线于点F，CE平分∠ACD交DB的延长线于点E，AF与CE交于点P，∠1+∠2＝90°，下列结论不正确的是（　　）
A．AB∥CD
B．∠ABE+∠CDF＝180°
C．若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F
D．AC∥BD
【答案】D
【分析】先运用角平分线的定义和平行线的判定推导出AB∥CD，再运用平行线的性质推导出∠ABE+∠CDF＝180°．
【解答】证明：∵AF平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠CAF＝∠1∠BAC，∠ACE＝∠2∠ACD，
∴∠BAC+∠ACD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝2×90°＝180°，
∴AB∥CD，
故A不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵∠CDE+∠CDF＝180°，
∴∠ABE+∠CDF＝180°，
故B不符合题意；
∵∠ACD＝2∠E，∠ACE∠ACD，
∴∠E＝∠ACE，
∴AC∥BD，
∴∠CAF＝∠F，
∴∠CAB＝2∠F，
故C不符合题意；
根据题意无法证明AC∥BD，
故D符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 新城区期末）图中与∠1构成同旁内角的角有　3　 个．
【答案】3．
【分析】根据同旁内角的定义解答即可．
【解答】解：与∠1构成同旁内角的角有∠ACD、∠EFD，∠ECB，共3个，
故答案为：3．
12．（2025春 曾都区期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　70　 °时，木条a与b平行．
【答案】见试题解答内容
【分析】由同位角相等，两直线平行，即可求解．
【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b，
∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1，
∴a∥b，
故答案为：70．
13．（2025春 海州区期末）为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为600m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 　300　 m．
【答案】300．
【分析】根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和，即可得出结果．
【解答】解：由平移的性质得，小桥总长＝长方形周长的一半，
∵600÷2＝300m，
∴小桥总长为300m．
故答案为：300．
14．（2025春 黄石期末）直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠AOC：∠COE＝2：1，则∠AOD＝ 　120°　 ．
【答案】120°．
【分析】按照∠AOC：∠COE＝2：1，可以求得∠AOC的度数，即可求得∠AOD的度数．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC：∠COE＝2：1，
∵∠AOC∠AOE90°＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
15．（2025春 蒙阴县期末）在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　30或150°　 ．
【答案】30°或150°．
【分析】分当OE在直线AB的上方时及当OE在直线AB的下方时两种情况进行讨论，求得∠EOC的度数．
【解答】解：如图所示，当OE在直线AB的上方时，
由题意可得：∠BOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝30°，
如图所示，当OE在直线AB的下方时，
由题意可得：∠BOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝150°，
故答案为：30°或150°．
16．（2025春 镜湖区校级期末）如图，AB∥CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝80°．
（1）∠CDE＝　40　 °；
（2）若∠ABC＝x°，则∠BED＝　（x+40）　 °（用含x的式子表示）．
【答案】（1）40．
（2）（40x）．
【分析】（1）由角平分线的定义即可求解．
（2）如图，过点E作PE∥AB，又因为AB∥CD，所以PQ∥CD，那么∠BEP＝∠ABE，∠PED＝∠EDC．欲求∠BED，需求∠ABE和∠EDC．因为BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，所以∠ABE∠ABCx°，∠EDC∠ADC＝40°．
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝80°．
∴∠CDE∠ADC80°＝40°．
故答案为：40．
（2）如图，过点E作PE∥AB．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE∠ABC＝40°，∠EDC∠ADC＝40°，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴∠BEP＝∠ABEx°，CD∥PE，
∴∠DEP＝∠EDC＝40°，
∴∠BED＝∠BEP+∠PED＝40°x°＝（40x）°．
故答案为：（40x）．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 砀山县期末）如图，直线AB，CD被直线AC所截，连接BD，交AC于点F，过点D作射线DE，若∠B＝∠BDC，∠A＝∠CDE，求证：AC∥DE．
【答案】证明见解析．
【分析】由内错角相等，两直线平行推出AB∥CD，得到∠A＝∠C，因此∠C＝∠CDE，判定AC∥DE．
【解答】证明：∵∠B＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠CDE，
∴∠C＝∠CDE，
∴AC∥DE．
18．（2025春 福田区校级期末）如图，在正方形网格中，点A、B、A1都在格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的位置关系是　平行　 ，数量关系是 　相等　 ；
（3）若每个小正方形边长为1，线段AB扫过的面积是　11　 ．
【答案】（1）作图见解析；
（2）平行，相等；
（3）11．
【分析】（1）将点B向右平移3格、再向下平移1格，得到其对应点B1，再与点A1连接即可；
（2）根据平移的性质可直接得出答案；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，如图，A1B1即为所求；
（2）由平移的性质可知：AA1、BB1、AA1与BB1的位置关系是平行，数量关系是相等，
故答案为：平行，相等；
（3）解：线段AB扫过的面积是
＝20﹣4﹣3﹣2＝11，
故答案为：11．
19．（2025春 邯郸期中）如图所示的是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角∠1跳到终点角∠3，可以走以下两条不同的路径：
路径1：∠1∠9∠3．
路径2：∠1∠12∠6∠10∠3．
试一试：
（1）写出一条从起始角∠1跳到终点角∠8的路径；
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？若能，写出其路径；若不能，请说明理由．
【答案】（1）内错角∠12同旁内角∠8；
（2）能，同位角∠10内错角∠5同旁内角∠8．
【分析】（1）路径为∠1→∠12（内错角）→∠8（同旁内角）（答案不唯一）；
（2）路径为∠1→∠10（同位角）→∠5（内错角）→∠8（同旁内角）．
【解答】解：（1）路径为∠1→∠12（内错角）→∠8（同旁内角）（答案不唯一）；
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8．
其路径为∠1→∠10（同位角）→∠5（内错角）→∠8（同旁内角）．
20．（2025春 双滦区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝54°，∠AOD＝3∠AOE．
（1）求∠COE的度数；
（2）过点O画射线OF⊥CD，并求出∠EOF的度数．
【答案】（1）108°；
（2）∠EOF＝18°或162°．
【分析】（1）先根据对顶角相等可得：∠AOD＝∠BOC＝54°，然后根据已知易得：∠AOE＝18°，最后利用平角定义进行计算，即可解答；
（2）分两种情况：当OF在AB上方时；当OF在AB的下方时；然后分别进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝54°，
∴∠AOD＝∠BOC＝54°，
∵∠AOD＝3∠AOE，
∴，
∴∠COE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOC＝180°﹣18°﹣54°＝108°；
（2）分两种情况：
当OF在AB上方时，如图，
∵OF⊥CD，
∴∠FOC＝90°，
∵∠COE＝108°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝108°﹣90°＝18°；
当OF在AB的下方时，如图，
∵OF⊥CD，
∴∠FOC＝90°，
∵∠COE＝108°，
∴∠EOF＝360°﹣∠COE﹣∠COF＝360°﹣108°﹣90°＝162°；
综上所述，∠EOF＝18°或162°．
21．（2025春 灵武市期末）如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，已知∠1＝100°，∠2＝115°，∠3＝65°．
（1）请判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）求∠4的度数．
【答案】（1）AB∥CD，理由见解析部分；
（2）∠4＝100°．
【分析】（1）结合图形，可得∠3+∠5＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，得到结果；
（2）由题意，可得∠4＝∠1，结合已知条件，得到结果．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
如图，∠2＝∠5，∠2＝115°，
∴∠5＝115°，
∵∠3＝65°，
∴∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD；
（2）由（1）知AB∥CD，
∴∠4＝∠1，
∵∠1＝100°，
∴∠4＝100°．
22．（2025春 阜阳期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OM⊥AB．
（1）若∠AOC＝36°，求∠COM的度数；
（2）若∠AOD：∠BOD＝3：1，求∠MOD的度数．
【答案】（1）54°；
（2）135°．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AOM＝90°，即可求出∠COM的度数；
（2）由邻补角互补求出∠BOD＝45°，由垂直的定义得到∠MOB＝90°，即可求出∠MOD的度数．
【解答】解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∵∠AOC＝36°，
∴∠COM＝90°﹣36°＝54°；
（2）∵∠AOD：∠BOD＝3：1，∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝45°，
∵OM⊥AB，
∴∠MOB＝90°
∴∠MOD＝∠MOB+∠BOD＝135°．
23．（2025春 高陵区期末）如图，直线PM∥EN，点A在PM上，点B在EN上，连接AB，PB，BC平分∠PBN交直线PM于点C，∠MAB＝60°．
【问题提出】
（1）如图1，若∠CPB＝40°，求∠ABC的度数；
【问题解决】
（2）如图2，点A在点P的右侧，若BD平分∠PBA交直线PM于点D，求∠DBC的度数．
【答案】（1）50°；
（2）∠DBC＝60°．
【分析】（1）根据平行线性质及角平分线定义即可求解；
（2）设∠ABD＝α，根据平行线性质及角平分线定义分别表示∠EBP、∠PBN、∠PBC，由∠DBC＝∠PBC﹣∠PBD，即可得到∠DBC．
【解答】解：（1）∵PM∥EN，∠CPB＝40°，
∴∠PBE＝∠CPB＝40°，
∴∠PBN＝180°﹣∠PBE＝140°，
∵BC平分∠PBN，
∴∠PBC＝∠CBN∠PBN＝70°，
∵PM∥EN，∠MAB＝60°，
∴∠ABE＝∠MAB＝60°，
∴∠ABP＝∠ABE﹣∠PBE＝20°，
∴∠ABC＝∠PBC﹣∠ABP＝70°﹣20°＝50°；
（2）设∠ABD＝α，
∵BD平分∠PBA，
∴∠PBD＝∠ABD＝α，∠ABP＝2α，
∵PM∥EN，∠MAB＝60°，
∴∠EBA＝∠MAB＝60°，
∴∠EBP＝∠EBA﹣∠ABP＝60°﹣2α，
∴∠PBN＝180°﹣∠EBP＝120°+2α，
∵BC平分∠PBN，
∴∠PBC∠PBN＝60°+α，
∴∠DBC＝∠PBC﹣∠PBD＝60°+α﹣α＝60°．
24．（2025春 濮阳期末）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线AB外一点P画CD∥AB的方法．
（1）小明的作法：通过折纸的方式．
第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点B′落在AB上，折痕PQ与AB相交于点Q，打开纸张铺平；
第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕CD⊥PQ，打开纸张铺平（如图4）；
小明说CD∥AB．
请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据．
证明：
∵∠AQB＝180°，
∴∠　PQB　 ，…理由是（角平分线的定义）
∵CD⊥PQ，
∴∠　CPQ　 ＝90°，…理由是：（　垂直的定义　 ）
∴∠CPQ＝∠PQB．
∴CD∥AB．…理由是：（　内错角相等，两直线平行　 ）
（2）小婷的作法：用一把直尺与一个三角板．
第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与AB重合；
第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P；
第三步：如图7，过点P画直线PS．
小婷说，PS就是过点P平行于AB的一条直线，小婷这样做的理由是　A　 ．
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
（3）小题的作法：用一个三角板
小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB．且过点P的直线”．
请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图．
【答案】（1）PQB；CPQ；垂直的定义；内错角相等，两直线平行；
（2）A；
（3）见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的定义，平行线的判定方法进行作答即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行，进行作答即可；
（3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线AB上，另一条直角边经过点P，画直线EF；第二步：把三角板沿射线DP向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线MN，即可．
【解答】（1）证明：∵∠AQB＝180°，
∴（角平分线的定义），
∵CD⊥PQ，
∴∠CPQ＝90°（垂直的定义），
∴∠CPQ＝∠PQB，
∴CD∥AB，（内错角相等，两直线平行），
故答案为：PQB；CPQ；垂直的定义；内错角相等，两直线平行；
（2）解：由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行；
故选：A．
（3）解：第一步：把三角板的一直角边放置在直线AB上，另一条直角边经过点P，画直线EF；
第二步：把三角板沿射线DP向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线MN；
则MN就是经过点P且平行于AB的一条直线．

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