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第1章三角形（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
所以C选项是正确的.
2．（24-25七年级·江苏苏州·期末）已知中，，则的长度可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，
根据三角形三边关系定理，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可．
【详解】解：已知中，，
设的长度为，
根据三角形三边关系得：的取值范围为．
故选C．
3．如图，若≌，则下列结论中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：≌，
，，，，
，
即故A，，选项错误，选项正确，
故选：．
4．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）
A．带去 B．带去 C．带去 D．带去
【答案】A
【解析】解：、带去，符合判定，选项符合题意；
B、带去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：．
5．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案．
【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
故选：C．
6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出长和三角形的面积．根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
【详解】解：过作于，如图：
是的角平分线，，
，
，
的面积为36，
的面积为，
，
，
，
故选：B．
7．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　）
A．，， B．，，
C．， D．，，
【答案】D
【解析】解：、，
根据三角形三边关系，，，不能画出三角形，故本选项错误；
B、已知、和的对角，，，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
C、根据，，已知一个角和一条边，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据，，，已知两角和夹边，符合全等三角形的判定定理，即能画出唯一三角形，故本选项正确；
故选D．
8．如图，已知，，若要得到“”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：已知，，
A．若添加条件，则根据“”，可得到，恰当，；
B．若添加条件，则不符合三角形的判定定理，不恰当；
C．若添加条件，则符合“”，可得到，恰当；
D．若添加条件，则，即，符合“”，可得，恰当．
故选B．
9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：≌；；四边形的面积，其中正确的结论有( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：在与中，
，
≌，
故正确；
，
在与中，
，
≌，
，，
，
故正确；
四边形的面积，
故正确；
故选：．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是_____.
【解析】解：三根木条即为三角形的三边长，
即为利用确定三角形，故答案为：SSS．
12．如图，∠1=∠2．
（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据是_____；
（2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是_____．
【解析】解：（1）∵AB=AB，∠1=∠2， BC=BD，∴△ABC≌△ABD（SAS）；
（2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4，∴△ABC≌△ABD（ASA）．
故答案为： SAS ASA
13．如图，是上一点．交于点，若，则的长是_______.
【解析】∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故答案是：4.
14．如图，在正方形网格中，______．
【解析】解：在和中
≌，
，
，
，
，
，
故答案为．
15．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ．
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
16．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为________________时，与全等．
【解析】解：设点的运动速度是，
，
、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等，有两种情况：
，，
则，
解得：，
则，
解得：；
，，
则，，
解得：，，
故答案为或．
17．如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有__对．
【解析】解：，，
在和中，
，
，
，DO=ED，
，，
，
在和中，
，
，
∴∠C=∠B，，
，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
即全等三角形共4对，
故答案为：4．
18．如图，是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的度数为 ．
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，学会分类讨论思想解决问题是解题的关键．
先证是等边三角形，得，再证，分三种情况分别求出的度数即可．
【详解】解：绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，且，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
旋转得到，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：或或．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19．（6分）如图，点在上，点在上，，，求证：．
【解析】证明：在和中，
．
C．
20．（6分）如图，，，请写出与的数量关系，并证明你的结论．
【解析】解：结论：．
理由：因为，
所以，
因为，
，
所以，
在和中
所以≌，
所以．
21．（8分）如图1，在中，，．求证．
①补全证明过程．
证明：如图2，取中点D，连接．
∴．
在中，，
∴______；
∴．
又，
∴．
∴为______三角形．
∴．
②请用文字概括①所证明的命题：____________．
【解析】解：①补全证明过程如下：
证明：如图2，取中点D，连接．
∴．
在中，，
∴；
∴．
又，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
故答案为：；等边；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
22．（8分）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．

【解析】（1）证明：由题意得：，，
∴，
∴，
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
答：两堵木墙之间的距离为．
23．（8分）用一条细绳围成一个三角形，
(1)若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数；
(2)若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长；
(3)若围成的三角形三边长均为整数，且分别为，，，求x和周长．
【答案】(1)，或，；
(2)腰长为，底边长为；
(3)，周长为．
【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形三边关系、一元一次方程的应用等知识．
（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质进行求解即可；
（2）设底边长为时，则腰长为，根据周长列方程解答即可；
（3）根据三角形三边关系列不等式组，解不等式组求出整数解，再根据三角形三边关系进行求解即可．
【详解】（1）解：当顶角为时，则底角为，即另两个角的度数分别为，；
当底角为时，则顶角为，即另两个角的度数分别为，；
（2）解：设底边长为时，则腰长为，
则，
解得，，
∴，
即底边长为，腰长为；
（3）解：由题意可得，
，
解得，
∴或；
当时，三边长，不能构成三角形，
当时，三边长，能构成三角形，
周长为，
即，周长为．
24．（10分）如图在和中，，，，连接，交于点M．
(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即____________；
(2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且．
①试说明；
②直接写出的大小（用含α的代数式表示）．
【解析】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（10分）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接．
(1)当点C在线段上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明：；
(2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
（1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论；
②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案；
（2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）①解：补全图形如图1所示，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②证明：如图2，在上截取，连接，
∵，，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接，
由（1）知，，，
∵，
∴；
当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接，
由（1）知，，，
∵，
∴．
26．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期五 今天某课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，，则边上的中线的取值范围是多少 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点，使，连接，得到，进而可求得中线的取值范围． 该小组在求解下列拓展题时，发现该题也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，在中，以的边，为边分别向外作和，其中，，是边的中点，连接，．当时，求的长． 同学们提出了思路：如图3，延长至点，使，连接． ……
任务：
(1)材料中得到的依据为_________；
(2)请你根据组内同学们的思路，解决老师提出的问题；
(3)请你直接写出的长．
【解析】（1）解：是的中线，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图3，延长AF至点，使，连接，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：由（2）可得：．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章三角形（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级·江苏苏州·期末）已知中，，则的长度可能为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若≌，则下列结论中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）
A．带去 B．带去 C．带去 D．带去
5．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　）
A．，， B．，，
C．， D．，，
8．如图，已知，，若要得到“”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：≌；；四边形的面积，其中正确的结论有( )
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是_____.
12．如图，∠1=∠2．
（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据是_____；
（2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是_____．
13．如图，是上一点．交于点，若，则的长是_______.
14．如图，在正方形网格中，______．
15．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ．
16．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为________________时，与全等．
17．如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有________对．
18．如图，是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的度数为 ．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19．（6分）如图，点在上，点在上，，，求证：．
20．（6分）如图，，，请写出与的数量关系，并证明你的结论．
21．（8分）如图1，在中，，．求证．
①补全证明过程．
证明：如图2，取中点D，连接．
∴．
在中，，
∴______；
∴．
又，
∴．
∴为______三角形．
∴．
②请用文字概括①所证明的命题：____________．
22．（8分）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．

23．（8分）用一条细绳围成一个三角形，
(1)若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数；
(2)若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长；
(3)若围成的三角形三边长均为整数，且分别为，，，求x和周长．
24．（10分）如图在和中，，，，连接，交于点M．
(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即____________；
(2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且．
①试说明；
②直接写出的大小（用含α的代数式表示）．
25．（10分）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接．
(1)当点C在线段上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明：；
(2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系．
26．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期五 今天某课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，，则边上的中线的取值范围是多少 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点，使，连接，得到，进而可求得中线的取值范围． 该小组在求解下列拓展题时，发现该题也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，在中，以的边，为边分别向外作和，其中，，是边的中点，连接，．当时，求的长． 同学们提出了思路：如图3，延长至点，使，连接． ……
任务：
(1)材料中得到的依据为_________；
(2)请你根据组内同学们的思路，解决老师提出的问题；
(3)请你直接写出的长．

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