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24.4 解直角三角形
一、单选题
1．（2018·吉林模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，AB=5，则BC的长为（　　）
A．5tan40° B．5cos40° C．5sin40° D．
2．（2025·奉贤模拟）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九上·射洪月考）已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·乐东期末）如图，正六边形边长为2，取正六边形的对角线的中点为原点，以直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·上海市月考）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为，那么这时飞机与目标A的距离为（　　）千米．
A． B． C． D．
6．（2022九下·石家庄模拟）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（　　）
A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40°
7．一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°，2小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°，则灯塔B到船的航海线AC的距离是(　　)
A．18+ B．19+ C．20+ D．21+
8．若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（　　）
A．37° B．53° C．26° D．63°
9．（2020九上·来宾期末）堤坝的横断面如图，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长为13米，那么斜坡AB的坡度是（　　）
A．1：3 B．1：2.6 C．1：2 D．1：2.4
10．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九上·哈尔滨月考）如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度　 　米．
12．（2025·恩施模拟）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，，则的长为　 　米．
13．（2024九下·越秀模拟）为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备　 　长的水管．（结果保留整数）（）
14．（2024八下·洪山期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别为，边上的一点，连接．点B关于的对称点P恰好落在上．当最小时，求的长为　 　．
15．（2018·重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点 、点 都与点 重合，折痕分别为 ， ，得到 ，若 厘米，则 的边 的长为　 　厘米.
16．（2024九下·本溪月考）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的一动点，边绕点按顺时针方向旋转得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点．连接，，当是直角三角形时，的长为　 　．
三、计算题
17．（2023九上·惠山月考）如图，在中，，，．求：
（1）的长；
（2）边上的高．
18．（2022九上·港南期中）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表：
课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点，在点的正东方向 点，在点的正东方向 点在点的正东方向，点在点的正西方向
测量数据 ， ， ． ， ， ． ， ， ．
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到）；（参考数据：，，，）
（3）计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议．
19．（2024九上·静安期中）已知：如图，在梯形中，，，，，，在边上任取一点，连接，作，的另一边交射线于点．
（1）求的值；
（2）如图，当点在线段上时，若，求的长；
（3）连接，当是直角三角形时，直接写出BE的长．
四、解答题
20．（2023九上·醴陵期末）如图，四边形中，，，，，．
（1）求AC的长．
（2）求的值．
21．（2023·新昌模拟）某校数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学知识测量铁塔的高度，他们先在点D处用测角仪测得塔顶B的仰角为，再沿方向前行40米到达点A处，在点A处测得塔顶B的仰角为，已知测角仪高为米．请根据他们的测量数据，求此塔的高．（结果精确到，参考数据：，，）
22．（2023九上·罗湖月考）消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AB可伸缩，伸缩范围为10m≤AB≤40m，且起重臂AB可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAB，张角范围为90°≤∠CAB≤150°，转动点A距离地面MN的高度AC为5m．（参考数据：）
（1）当起重臂AB长度为20m，张角为135°时，云梯消防车最高点B距地面的高度为　 　m；（结果保留根号）
（2）某栋楼高39m，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．
23．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；方位角
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形；一次函数的性质
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
12．【答案】10
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
13．【答案】113
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形的其他实际应用
16．【答案】6或或
【知识点】配方法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】解直角三角形
18．【答案】（1）第二组；（2）第一个小组的解法，河宽约为56.3m；第三个小组的解法：河宽为56.4m；（3）①在测量前先校准测量仪器，消除测量系统误差；②注意测量仪器的使用环境要求，如温度、湿度、气压等等。确保测量在最佳环境下进行；③确保测量过程和数据读取的正确，应严格遵循测量标准或测量仪器的要求；④对每个数据应多次测量，并求平均值和方差，减小测量过程中的随机误差．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
19．【答案】（1）
（2）
（3）或或
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
20．【答案】（1）；（2）
【知识点】勾股定理；解直角三角形
21．【答案】米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
22．【答案】（1）5+10
（2）解：该消防车能实施有效救援．
理由：当BE＝39m时，
∵AC＝5m，
∴AD＝34m．
在Rt△ADB中，当AB＝40m时，
∵cos∠DAB＝＝0.85，
∴∠DAB≈31.788°．
∴∠CAB＝148.212°．
∵张角∠CAB范围为90°≤∠CAB≤150°，
∴该消防车能实施有效救援．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的其他实际应用
23．【答案】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：如图所示．则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100 ≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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