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2.频率与概率
一、单选题
1．（2024九上·方城期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
2．（2023九上·郑州经济技术开发期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的个黑球、个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中.通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可以估计袋中红球的个数约为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九上·永修期中） 数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验， 多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023九上·兴隆台期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是．
所有合理推断的序号是(　　)
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
5．（2025九上·通山期末）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为，是指（　　）
A．连续抛掷次必有次正面朝上
B．连续抛掷次不可能正面都朝上
C．大量反复抛掷每次出现正面朝上次
D．抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于
6．在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ”，小明做了下列三个模拟实验来验证．
①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；
③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值． 上面的实验中，不科学的有（　　）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．已知一口袋中放有红、白、黑三种颜色的球共50个，它们除颜色外其他都一样，一位同学通过多次试验后发现摸到红、白色的频率基本稳定是45%和15%，则袋中黑球的个数可能是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（　　）
试验种子数n（粒） 50 200 500 1000 3000
发芽频数m 45 188 476 951 2850
发芽频率 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95
A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1
9．平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为a，向此平面任投一长度为l（l＜a）的针，求该针与平行线相交的概率．下列见解正确的是（　　）
A．可以用画树状图的方法求概率
B．可以用列表的方法求概率
C．可以用画树状图或列表的方法求概率，也可以用试验的方法估计其概率
D．不能用画树状图或列表的方法求概率，可以用试验的方法估计其概率
二、填空题
10．（2022·市南区模拟）林业部门要观察某种树苗在一定条件下的移植成活率，下表是这种树苗在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000
成活的棵数m 853 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26400
成活的频率 0.853 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.880
根据以上数据，该林业部门估计在此条件下移植的55000棵树苗成活的棵数约为　 　．
11．（2024九上·白银期末）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000
发芽的麦粒数 91 178 450 900 1820
发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91
通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为　 　．（精确到0.1）
12．（2023·深圳模拟）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和7个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.7，则估计口袋中大约有红球 　 　个．
13．（2020九上·翼城期末）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为　 　 ．
14．（2020八下·高邮期末）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：
下列说法中： ①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930； ②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920； ③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是　 　（填序号）
15．（2025九上·清新期末）一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有　 　个白球．
三、计算题
16．（2024八下·吴江期中）自18世纪以来一些统计学家做“抛掷质地均匀的硬币实验”获得的数据如下表
实验者 实验次数 正面朝上的频数 正面朝上的频率
布丰
德·摩根
费勒
皮尔逊
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
（1）表中的______，______；
（2）估计硬币正面朝上的概率．（精确到）
17．（2024九下·秦安模拟）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25．
（1）请估计摸到白球的概率将会接近________；
（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
四、解答题
18．（2023八下·秦淮期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 59 96 295 480 601
摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的　 　，　 　；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是　 　（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
19．（2024八下·南京月考）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数 151 221 289 358 429 497 564
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 0.702
（1）完成上述表格：________，_________．
（2）估计摸出一个球恰好是红球的概率约为_________．（结果精确到0.1）
20．（2023九上·从江期中）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个.从纸箱中任意摸出一球，记下颜色后放回，多次试验后，测得：摸到红色乒乓球、黄色乒乓球的频率分别稳定在20%和30%左右.
（1）试求出纸箱中蓝色乒乓球的个数；
（2）假设向纸箱中再放进红色乒乓球x个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色乒乓球的概率为0.5，试求x的值.
21．王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 2 5 6 4 10 3
（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
2．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
6．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
9．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
10．【答案】48400
【知识点】利用频率估计概率
11．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
12．【答案】3
【知识点】利用频率估计概率
13．【答案】5.4
【知识点】利用频率估计概率
14．【答案】②
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
15．【答案】9
【知识点】利用频率估计概率
16．【答案】（1）；
（2）
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
17．【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个；（3）15
【知识点】利用频率估计概率
18．【答案】（1）0.59；116
（2）0.6
（3）解：（个）.答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球.
【知识点】利用频率估计概率
19．【答案】（1）0.705，702
（2）0.7
【知识点】利用频率估计概率
20．【答案】（1）解：纸箱中蓝色乒乓球有
100×(1-20%-30%)=50(个).
（2）解：原来纸箱中红色乒乓球有100×20%=20(个)，
向纸箱中再放进红色乒乓球x个，任取一个球是红色球的概率是0.5，则=0.5，解得x=60.经检验，x=60是原方程的解，即x的值为60.
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
21．【答案】解：（1）“3点朝上”的频率为：，
“5点朝上”的频率为：；
（2）王勇的说法是错误的
因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，
只有当实验次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，也才能用该事件发生的频率区估计其概率．
李明的说法也是错误的，因为事件的发生具有随机性，所以投掷300次，出现“6点朝上”的次数不一定是30次．
（3）列表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵朝上的点数之和为3的倍数共有12个，
∴P（点数之和为3的倍数）= ．
【知识点】利用频率估计概率
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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