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2024-2025 学年甘肃省武威市凉州区高一下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足(2 ) = | 2 |，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为 1，则 =( )
A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 3
3.在 3中 = 2， = 3，sin = 5，则 sin =( )
A. 1 B. 25 5 C.
3
5 D.
4
5
4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中 = = 1，则原平面
图形的面积为( )
A. 3 2 B. 3 28 4 C. 3 2 D. 6 2
5.空间中三条不同的直线 ， ， 和平面满足 ， ， ，则下面结论正确的是( )
A.若 // ，则 // B.若 ⊥ 且 ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ 且 ⊥ ，则 //
6.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次 6 点向上的概率是( )
A. 118 B.
11 25 1
36 C. 36 D. 36
7.一个正四棱台形油槽可以装煤油 190000cm3，其上、下底面边长分别为 60cm 和 40cm，则该油槽的深度
为( )
A. 754 cm B. 25cm C. 50cm D. 75cm
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8.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件 =“点数为 4”，事件 =“点数为
奇数”，事件 =“点数小于 4”，事件 =“点数大于 3”，则( )
A. 与 互斥 B. 与 互斥 C. 与 对立 D. 与 对立
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A.若 = ，则 =± B.长度相等的向量是相等向量
C.零向量的方向是任意的 D.方向相反的向量是相反向量
10.下列结论正确的是( )
A.圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B.长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体
C.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
D.用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
11.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1，2，3 的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球，每个
球被取出的可能性相等.下列说法正确的是( )
A. 4取出的两个球上标号为不同数字的概率为9
B. 5取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率为9
C. 1取出的两个球上标号为相同数字的概率为3
D. 1甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 4 π.已知 ∈ 0, π ，cos = 5，则 tan( + 4 ) = ．
13.如图所示，已知 ⊥平面 ， ⊥平面 ，且 = , = 6，则 = ．
14.市场调查公司为了了解某小区居民在订阅报纸方面的取向，抽样调查了 500 户居民，订阅的结果显示：
订阅晨报的有 334 户，订阅晚报的有 297 户，其中两种报纸都订阅的有 150 户．则两种报纸都不订阅的概
率为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
已知 sin = 3 cos sin2 5，且 是第三象限角，求 cos2 +1 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，三棱锥 中， ⊥底面 ，∠ = 90°， = = ， 为 的中点．
(1)指出图中有哪几个平面；
(2)指出图中有哪四对互相垂直的平面．
17.(本小题 15 分)
两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是 0.7 和 0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命
中”是独立的．求
(1)甲和乙同时命中的概率；
(2)甲和乙至少一人命中的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， = 3，求：
(1)异面直线 与 1 所成角的大小的正切值；
(2)求点 到平面 1 1的距离．
19.(本小题 17 分)
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为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“ .书画类、 .文艺类、
.社会实践类、 .体育类”.现随机抽取了高二年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了
两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有多少名？扇形统计图中“ .书画类”所占扇形的圆心角的度数？
(2)请你将条形统计图补全；
(3)本次调查中抽中了高二(1)班小王和小李两名学生，请用列表法或画树状图法求他们选择同一个项目的概
率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.17
13.6
14.0.038/ 19500
15.解：∵ sin = 35，且 是第三象限角．
∴ cos = 1 sin2 = 45，tan =
sin 3
cos = 4．
2
∴ cos sin2 = cos
2 2sin cos 1 2tan
cos2 +1 2cos2 +sin2 = 2+tan2 ．
2 1 2×3
将 tan cos sin2 8代入解得： = 4cos2 +1 = ．2+ 3
2 41
4
16.解：(1)图中有平面 ，平面 ，平面 ，平面 ，平面 ；
(2)因为 ⊥底面 ， 面 ，所以 ⊥ ，
又因 ⊥ ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
同理，平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ．
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17.解：1)由题意，
设甲命中为事件 ，概率为 1 = 0.7，
乙罚球时命中为事件 ，概率为 2 = 0.6，
则设甲和乙同时命中为事件 ，
∴甲和乙同时命中的概率为： = 1 2 = 0.42．
(2)由题意及(1)得，
设甲和乙都不命中为事件 ，甲和乙至少一人命中为事件 ，
则 = 1 1 1 2 = 0.3 × 0.4 = 0.12，
∴甲和乙至少一人命中的概率为： = 1 0.12 = 0.88．
18.解：(1)连接 1 ，易知 ⊥ 1 ，
∵ // ，
∴ ∠ 1 即为异面直线 与 1 所成角，
∵ = 3，则 1 = 3 2, 1 = 3 3，
故 tan∠ 1 =
1
= 2．
(2)连接 1 交 1于 ，则 1 ⊥ 1，
∵ ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ ⊥ 1 ，
又∵ 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，
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∴ 1 ⊥面 1 1，
∴ 3 2线段 为所求距离，∴点 到平面 11 1的距离为 = 2 = 2 ．
19. 0解：(1)由扇形统计图中可知： 体育类占比为 40 0，条形统计图中可知， 体育类有 20 人，
故本次被抽查的学生共有：20 ÷ 40％ = 50 名，
10
扇形统计图中“ .书画类”所占扇形的圆心角的度数为50 × 360° = 72°；
(2) 类人数是：50 10 8 20 = 12 名，补全条形统计图如图所示：
(3)所有可能的情况如下表所示：

( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
由表格可得：共有 16 种等可能的结果，其中小王和小李两名学生选择同一个项目的结果有 4 种，
4 1
所以小王和小李两名学生选择同一个项目的概率= 16 = 4．
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