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(共17张PPT)
1.4.2充要条件
高一年级 谭雪兰
核心素养目标
1、核心价值：符号表达和逻辑推理
2、学科素养目标
①知识目标：掌握充要条件的概念并能求充要条件；
②能力目标：逆向思维和系统思维能力；
③情感目标：体验验证充要条件的乐趣，增强逻辑推理能力。
1、复习导入：如图，直线a与b 被直线l所截，分别得到∠1，∠2，∠3 和∠4.请根据这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件.
1
3
2
4
a
b
解：充分条件：∠1=∠4，
∠1=∠2，
∠1+∠3=180°
必要条件： ∠1=∠4，
∠1=∠2，
∠1+∠3=180°
一、情景引入，感知主题
2、思考：你能根据a∥b的充分条件写出“若p，则q”形式的命题吗？它的逆命题呢？
解：命题：若∠1=∠4，则a∥b；
逆命题：若a∥b，则∠1=∠4
1
3
2
4
a
b
解：这是平行线的性质定理，此逆命题正确。
①下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0;
(4)若AUB是空集，则A与B均是空集
二、自主探究，引出主题
1、探究充要条件的概念
解：在命题(1)、（4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题，且由q也可以推导出p，其逆命题也正确。（2）是真命题，但其逆命题是假的，在命题(4)中，由条件p不能得出结论q，但由q可以推出p，所以其逆命题是真命题.
二、自主探究，引出主题
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
一般地，“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”也为真命题，即pq
此时，p是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就称p是q的充要条件。
②定义：
反馈练习1：
1.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充要条件的是（ ）
A、p：两个三角形的两和其中一角所对的边分别相等，q：这两个三角形全等
B、p：两个三角形全等，q：这两个三角形的周长相等；
C、p: 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，q：ac<0;
D、p：AUB是空集，q:A或B是空集
A
反馈练习1：
2.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ）
A、p：四边形是平行四边形 q：对角线互相平分；
B、p：两个三角形的周长相等 q：这两个三角形全等；
C、p: x2-4x+3=0 q:x=1；
D、p：平面内两条直线a和b均垂直于直线l q：a⊥b.
A
三、精例精讲
例3 、下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分:
(2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例;
(3)p:ry>0，q:r>0，y>0;
(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a十b+c=0(a≠0）
解:(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要条件.
(2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即pq，所以p是q的充要条件.
(3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立，所以pq，所以p不是q的充要条件；
(4))因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即pq，所以p是q的充要条件.
思考
【例3】中命题(2)给出了“两个三角形相似”的一个充要条件，即“两个三角形相似，则两个三角形三边对应成比例”。这样的充要条件唯一吗 如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充要条件吗
解：①若两个三角形相似，则这两个三角形两角对应相等;
②若两个三角形相似，则这两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等；
所以，p的充要条件不唯一
例4、 已知:的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证:d=r是直线l与O相切的充要条件.
分析:设p:d=r，q:直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p→q)和必要性(q→p)即可.
证明：充分性(p→q)：如图，由d=r，过O作OP⊥，因为OP=r，所以P在上，上有且只有一点P在上，否则在上任取一点Q（异于P点），则OQ>OP=r,所以直线l与O相切
P
O
必要性(q→p)：直线l与O相切，设切点为P，则OP⊥，P在上，所以d=OP=r
一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中p是否为的q充要条件，只需判断是否有“pq”和“p”
三、巩固练习
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1)p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
(2)p:O内两条弦相等，q:O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p:AB为空集，q:A与B之一为空集
解：（1）（2）
2.证明:如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
证明：设p:梯形ABCD为等腰梯形,q:AC=BD
D
A
C
B
充分性（p）：易证
必要性（q）：
E
∴DE BC，BD=CE
又∵ADBC，
∴A、D、E共线，
又∵AC=BD，
∴AC=CE，
∴∠E=∠1=∠2，
∴，∴
1
2
3.在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答)
(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形；
(2)p:一元二次方程，q:ax2+bx+c=0有实数根，q:b2-4ac0;
(3)p:aP Q,q:aP;
(4)p:aPUQ,q:aP;
(5)p:x>y,q:x2>y2。
四、课堂小结
p是q的充要条件
p
q是p的充要条件

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