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广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）

A．8 B．16 C．24 D．32
5．定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
8．如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是 ．
10．已知反比例函数，当时，y的最小值为，则k的值为 ．
11．土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺
12．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ．
13．如图，在中，，点分别在边上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
三、解答题
14．（1）用配方法解方程：；
（2）解方程：．
15．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图．
(1)这个几何体的名称是______；
(2)若从正面看到的长方形的宽为，长为，从左面看到的宽为，从上面看到的直角三角形的斜边为，则这个几何体的表面积是多少．
16．五一假期档多部热门影片上映，某大型电影院为方便观众入场，在入口处设置了，，，四个检票口．观众可随机选择一个检票口入场观影．
(1)一名观众通过入口时，选择检票口通过的概率为______；
(2)当两名观众从不同检票口同时通过入口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻检票口通过的概率．
17．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？
18．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．
(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36．3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
(2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价．
19．综合与实践
甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形．
要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和；
②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同；
③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大．
甲同学的方案 乙同学的方案
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)猜想：以上两个同学的方案中，______（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大；甲同学的方案中，拼成的正方形边长是______；
(2)求出乙同学方案中拼成的正方形的边长；
(3)请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卡上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长）
20．如图1，在矩形中，，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得，交直线于点H．

(1)【尝试初探】求证：．
(2)【深入探究】若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当点H是线段中点时，求的长度．
(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度（用含n的代数式表示）．
参考答案
1．C
解：∵，
∴设，（），
∴，
故选：．
2．A
解：由题意可得，该图形的左视图和主视图相同，均为梯形，
故选：A．
3．C
解：∵由图可知，，
A、三角形各角的度数都是，
B、三角形各角的度数分别为，
C、三角形各角的度数分别为，
D、三角形各角的度数分别为，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
4．C
解：∵，，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴和的相似比为，
∵的周长为8，
∴的周长为24．
故选：C
5．D
解：根据题意得：，
∴原方程为，
∵该方程有两个实数根，
∴，
即，
解得：．
故选：D
6．A
解：由题意得，，
故选：A．
7．D
解：设，
分别过四个点作坐标轴的垂线，
则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数，
由矩形面积可得，
即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数，
故选：D．
8．D
解：由题意得，，，．
设，，
则，，
∵是正方形，
∴，
∴．
∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴．
故选D．
9．
解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：．
10．
解：根据题意，得，
故反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
由时，y的最小值为，
故时，y的最小值为，
此时反比例函数经过点，
故．
故答案为：．
11．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
根据题意得：尺，尺，
∴（尺）；
∴第二时刻的影长为尺；
故答案为：．
12．
解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为，
列表如下：
10 20 30 40
10 30 40 50
20 30 50 60
30 40 50 70
40 50 60 70
∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种，
∴天平恢复平衡的概率为．
故答案为：．
13．
解：∵点和点关于直线对称，
∴， ，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（1）；（2）
（1）由题知，，
，
，
，
或，
解得．
（2）由题知，，
因式分解得，，
或，
解得．
15．(1)三棱柱
(2)
（1）解：这个几何体是三棱柱．
故答案为：三棱柱．
（2）解：这个几何体的所有棱长的和（cm）．
表面积．
16．(1)；
(2)．
（1）解：观众共有种等可能的选择结果，
选择入口的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下，
由树状图可知，共有种等可能的情况出现，
其中两名观众选择相邻检票口的情况有、、、、、，
两名观众选择相邻检票口的情况有种，
两名观众选择相邻检票口的情况的概率为．
17．(1)，
(2)1或9
（1）解：∵反比例函数过点，，
∴，
解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
18．(1)从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为．
(2)下调后每辆汽车的售价为20万元
（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x．
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，
根据题意得：，整理得：．
解得：，．
又∵要尽量让利于顾客，
．
答：下调后每辆汽车的售价为20万元．
19．(1)甲；3
(2)
(3)见解析
（1）以上两个同学的方案中，甲拼成的正方形边长大；
甲同学方案中，拼成的正方形边长为3 cm，
故答案为：甲；3 ；
（2）如图1，由拼成条件可得，四边形为矩形，
设直角三角形为，则，
由勾股定理得，
四边形为矩形，
，即，
，
，
不妨设，
则，
∴，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，即，
，
解得，
，
，
甲拼成的正方形边长大，
乙同学方案中拼成的正方形边长为．
（3）如图2，其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下：
过点B作于H，
，
，
根据拼接要求，为等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
，即，
，
解得，
，
，
由勾股定理得，
又，
设计的新方案，符合题意．
20．(1)见解析
(2)的长度为或
(3)的长为n或
（1）证明：∵四边形与为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点H是线段中点，
∴，
设，则，
根据解析（1）可知，，
∴，
即，
解得：或，
经检验或都是原方程的根，且符合题意，
∴的长度为或．

（3）解：当时，如图所示：

∵，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∴；
当时，如图所示：

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D、C、F三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理得：
；
综上分析可知，的长为n或．

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