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1.5 有理数的乘除
第一章 有理数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
有理数的乘法法则
倒数
乘法运算律
多个有理数相乘
有理数的除法法则
知1－讲
感悟新知
知识点
有理数的乘法法则
1
1. 有理数的乘法法则
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 .
(2)任何数与 0 相乘仍得 0.
感悟新知
知1－讲
特别解读
1.“同号得正，异号得负” 是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 .
2.有理数乘法的运算步骤：
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值 .
3. 1 与任何数相乘，仍得原数，－1 与任何数相乘，得到的是原数的相反数 .
感悟新知
2. 有理数的乘法符号法则(拓展)
(1) 如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即： ab>0 a>0， b>0 或 a<0， b<0.
(2) 如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即： ab<0 a>0， b<0 或 a<0， b>0.
(3) 如果两个数的积为 0，那么这两个数中至少有一个数是 0，反之亦然，即： ab=0 a=0 或 b=0.
知1－讲
知1－练
感悟新知
计算下列各题：
(1) (－ )×( － ) ； (2)1 × (－ )；
(3) (－ ) ×(－1)； (4) (－7 )× 0.
例1
解题秘方：两个数相乘，根据乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘即可 .
知1－练
感悟新知
解： (－ )×( － ) =＋ (×)= .
(1) (－ )×( － ) ；
(2)1 × (－ )；
1 × (－ )=－(× )=－ .
运算时，带分数要
化为假分数 .
知1－练
感悟新知
解： (－ ) ×(－1) =+( × 1) = .
(3) (－ ) ×(－1)；
(4) (－7 )× 0.
(－7 )× 0=0.
任何数与1 相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数 .
知1－练
感悟新知
1-1. [期中·宿州]下列各组数中，乘积等于 1的是( )
A. 2 和 － 2
B. | － 2| 和 －
C. － 1 和 1
D. － 1 和 －1
D
知1－练
感悟新知
1-2.在 2， 3， －5， 7这四个数中，任取两个数相乘，得到的积最小的是( )
A. 6 B. 35
C. －21 D. －35
D
知1－练
感悟新知
根据下列条件，判断 a， b 的正负性：
(1) a+b<0， ab>0；
(2) a － b<0， ab<0.
例2
解题秘方：先根据两个数积的符号判断出两个数是同号还是异号，再根据两个数和(差)的符号，判断两个数的正负性 .
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感悟新知
解： 因为 ab>0，所以 a， b 同号 .
又因为 a+b<0，所以 a， b 同为负 .
(1) a+b<0， ab>0；
(2) a － b<0， ab<0.
因为 ab<0，所以 a， b 异号 .
因为 a－b<0，所以 a所以 a 为负， b 为正 .
知1－练
感悟新知
方法点拨：当逆用法则时，注意结果的多样性，从和或积的符号分析加数或因数的符号情况不止一种，两者结合起来分析即可得解 .
知1－练
感悟新知
2-1.若三个数a， b， c满足(a－b)(b－c) >0，则下列关于a， b， c三个数的大小关系叙述正确的是( )
A. 可以确定最大的数是a，最小的数是c
B. 可以确定最大的数是c，最小的数是a
C. 可以确定中间的数是b
D. 可以确定中间的数是a
C
知1－练
感悟新知
[母题教材 P40 习题 T6] “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开” . 诗词反映了深山海拔高、气温低、花开晚的自然现象 . 一般情况下，海拔每上升 1 千米，气温下降约 6 ℃. 一座山的海拔为2 千米，如果小明在山脚下(海拔为 0 千米)测得的气温是 5 ℃，那么小明乘缆车到山顶后测得山顶的气温约是________ .
例3
－7 ℃
知1－练
感悟新知
解：根据题意，得小明乘缆车到山顶后测得山顶的气温约是 5+(－6) × 2=－7( ℃ )．
解题秘方：根据“海拔每上升 1 千米，气温下降约 6 ℃”算出到山顶后下降的温度，然后再算山顶的温度 .
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感悟新知
3-1.某品牌冰箱启动后开始降温，如果冰箱启动时的温度是10℃，每小时冰箱内部的温度降低3℃(降至设定温度后即停止降温)，那么5小时后(还未降至设定温度)冰箱内部温度是 _______℃.
－5
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知2－讲
知识点
倒数
2
1. 定义 如果两个有理数的乘积为 1，我们称这两个有理数互为倒数 .
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知2－讲
2. 求倒数的方法
类型 方法 示例
m 为非零整数 把这个数写成 的形式，则得到 m 的倒数 2 的倒数是
m 为分数 颠倒 m 的分子和分母位置，则得到 m 的倒数 的倒数是
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知2－讲
类型 方法 示例
m 为带分数 把 m 化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 1 = ，所以 1 的倒数是
m 为小数 把 m 化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 0.25= ，所以 0.25 的倒数是 4
感悟新知
知2－讲
3. 倒数与相反数间的关系
不同点 相同点
定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是 1的两个数互为倒数 a( a ≠ 0)的倒数是 若 a， b 互为倒数，则a· b=1 若a· b=1，则 a， b 互为倒数 成对出现
相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 a 的相反数是 －a 若 a， b 互为相反数，则 a+b=0 若a+b=0，则 a， b 互为 相反数
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. “乘积是1”是判断两个数互为倒数的条件.
2.“互为”这个关键词体现了倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数 .
3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 .
4. 若 a， b 互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a， b互为倒数 .
5.倒数等于它本身的数为 ±1.
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知2－练
求下列各数的倒数.
(1) －4； (2) － ； (3)0.125； (4)1 ； (5) －1.
例4
解题秘方：利用倒数的定义确定各数的倒数.
(1) －4； (2) － ；
(3)0.125； (4)1 ；
(5) －1.
知2－练
感悟新知
解：－4的倒数是－ .
－的倒数是－.
0.125的倒数是8.
1 的倒数是 .
－ 1的倒数是－ 1.
倒数之间不能用等号，
如－ 4的倒数是－ ，
不能用“－ 4= － ”
表示 － 4 的倒数 .
知2－练
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4-1. [模拟·淮北]下列各数的倒数比它本身大的是( )
A. 1 B. －1
C. －5 D. －
C
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知3－讲
知识点
乘法运算律
3
运算律 文字表示 用字母表示
乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 ab=ba
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab) c=a(bc)
分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 a(b+c) =ab+ac
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知3－讲
乘法运算律的推广
(1) 乘法交换律和乘法结合律的推广：三个或三个以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积不变 .
(2) 乘法对加法的分配律对于两个以上的有理数相加的情况仍然适用，即 a(b+c+… +m) =ab+ac+… +am.
知3－讲
感悟新知
要点解读
1. 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用，交换是为了更好地结合 .
2. 运用乘法的运算律进行计算，是为了简化运算 .它只改变其中的运算顺序，而不改变算式中每个数的性质和大小 .
知3－练
感悟新知
计算： 25× 0.125×(－4)× (－ )×(－8)× 1 .
例5
解题秘方：运用乘法交换律和结合律，将乘积为整数的因数结合，以简化运算 .
知3－练
感悟新知
解： 25× 0.125×(－4)× (－ )×(－8)× 1
= － 25× 0.125× 4× × 8×
= －(25× 4) ×(0.125× 8) ×( ×)
=－100× 1× 1
=－100.
知3－练
感悟新知
方法点拨：简化有理数乘法的方法：
对于几个有理数相乘，先确定积的符号，再把能够凑整、便于约分的因数运用乘法交换律与结合律结合在一起 .
知3－练
感悟新知
5-1.计算(－2 ) ×(－ ) × 的结果为( )
A. － B. － C. D.
C
知3－练
感悟新知
5-2.用简便方法计算： (1) 100× ×(－8 ) ×(－0.1)；
(2)(－ ) ×(－15)×(－) × .
知3－练
感悟新知
计算：(－36)×( － + － ) .
例6
解题秘方：形如 k(a+b+c)的算式，当 a， b， c 是分数，且 k可以和 a， b， c 的分母约分得到整数时，用乘法对加法的分配律计算可以简化运算 .
知3－练
感悟新知
解： (－36)×( － + － )
= (－36)×( － ) ＋ (－36)× ＋(－36)×( － )
=16 － 30 ＋ 21
=7.
相乘时括号里的每个数都
要带上它前面的符号，且不
要漏乘括号中的任何一项.
知3－练
感悟新知
6-1. 计算：(1)(－ － + ) ×(－24)；
(2)( － － )×(－24).
知3－练
感悟新知
计算：
(－ 47.65)× 2 +37.15× 2 +10.5×(－ 7 ).
例7
解题秘方：逆用分配律简化运算 .
知3－练
感悟新知
解：原式 =［( － 47.65) +37.15］ × 2 +10.5× (－ 7 )= (－ 10.5) × 2 +10.5×( － 7
= (－ 10.5) × (2 +7 )
= (－ 10.5) × 10
= － 105.
知3－练
感悟新知
(1) 25×－(－ 25)×(－ ) +25×(－ ) .
7-2. [期末·宿州]计算：
知3－练
感悟新知
(2) 48×0.12548× ＋(－48)× ；
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知4－讲
知识点
多个有理数相乘
4
1. 几个不为 0 的数相乘的法则
几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 .确定符号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 .
感悟新知
知4－讲
2. 有因数为 0 的几个数相乘的法则
几个数相乘，如果有一个因数为 0，积就为 0.同样，若积为 0，则至少有一个因数为 0.
知4－讲
感悟新知
特别解读
计算多个有理数相乘的步骤 ：
第1步：看因数中有没有0；
第2步： 判断积的符号(根据负因数的个数)；
第3步：计算积的绝对值.
感悟新知
知4－练
计算： (1)(－5)×(－4)×(－2)×(－2)；
(2) (－) × (－1 )× (－1 )× 5；
(3) (－2 ) × (－1 )× 0.732× 0.
例8
解题秘方：利用多个有理数相乘的法则，先确定符号，再计算绝对值的乘积 .
知4－练
感悟新知
解： 原式 =5× 4× 2× 2=80.
计算： (1)(－5)×(－4)×(－2)×(－2)；
(2) (－) × (－1 )× (－1 )× 5；
(3) (－2 ) × (－1 )× 0.732× 0.
原式 = － ( × × × 5) = － 6.
原式 =0.
知3－练
感悟新知
8-1. [月考· 淮北]下列计算结果最大的是( )
A.(－ 1)× 3× 4×(－ 2)
B.(－ 5)×(－ 3)×4×(－ 2)
C. 2×(－ 6)×(－ 8)×(－ 4)
D. 2 024×(－ 13)× (－ 14)×0
A
知5－讲
感悟新知
知识点
有理数的除法法则
5
1. 有理数除法法则一
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 0 除以任何一个不等于 0 的数仍得 0. 0 不能作除数 .
例如：
感悟新知
知5－讲
2. 有理数除法法则二 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数 . 用字母表示： a÷ b=a (b ≠ 0) .
例如： 3÷(－ ) =3×(－ ) = － 5.
除以一个数
乘它的倒数
知5－讲
感悟新知
特别提醒
1. 除法法则一是先确定商的符号，再求商的绝对值.
2. 除法法则二—两变：
一变，将除号变乘号；
二变，将除数变倒数 .
感悟新知
3. 乘除混合运算中的注意事项
(1) 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算．
(2) 积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负，见 0为 0”．
(3)结果要化为最简分数或整数．
(4) 有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号，则按照从左到右的顺序计算 .
知5－讲
知5－练
感悟新知
计算： (1)(－12)÷( + )；(2) (－1 ) ÷ (－3 ) ；
(3) 0÷(－3.72)； (4) 1.5÷(－1.5)；
(5)(－4.7)÷(－4.7)； (6)(－0.75) ÷ ÷ (－0.3)；
(7)(－3 ) ×(－2 )÷ (－1 ) .
例9
知5－练
感悟新知
解题秘方：灵活选择有理数除法的两个法则进行计算 .
当不能整除时，特别是当除数是分数
时，往往采用法则二，把除法转化为
乘法再计算；当能整除时，往往采用
法则一直接除 .
(1)(－12)÷( + )
(2) (－1 ) ÷ (－3 )
(3) 0÷(－3.72) (4) 1.5÷(－1.5)
知5－练
感悟新知
解：(－12)÷( + ) =(－ 12) ×(+2)= － 24.
0÷(－3.72) =0.
1.5÷(－1.5) =－1.
互为相反数的两个数
(0除外)相除得－ 1.
(－1 ) ÷ (－3 ) = (－ ) ÷ (－ )= (－ ) × (－ ) =.
知5－练
感悟新知
(5) (－4.7)÷(－4.7)
(6)(－0.75) ÷ ÷ (－0.3)
解：(－4.7)÷(－4.7) =1.
任何不等于 0 的数
除以它本身都等于1
(－0.75) ÷ ÷ (－0.3) =(－ ) × × (－ ) =
× × = 2.
知5－练
感悟新知
解： (－3 ) ×(－2 )÷ (－1 )
= (－ ) × (－ ) × (－ ) = － ( × × )
= －5.
(7)(－3 ) ×(－2 )÷ (－1 )
知5－练
感悟新知
9-1. [模拟·天津宝坻区] 计算－ 39÷( － 13)的结果等于( )
A. 3 B. － 3
C. 2 D. － 2
A
知5－练
感悟新知
9-2.计算： (1)(－ 7)÷(－ )÷(－ 2.5)；
知5－练
感悟新知
(2)2 ÷(－ 1.2)×(－ )；
(3)(－ 4 ) ÷ × (－ )×(－ 1 ).
有理数的
乘除
转化
倒数
运算律
有理数的乘法
符号
绝对值
有理数的除法
法则
积为1

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