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1.6 有理数的乘方
第一章 有理数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
乘方的意义
乘方的运算法则
有理数的混合运算
用科学记数法表示数
知1－讲
感悟新知
知识点
乘方的意义
1
1.乘方 求n个相同因数的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 记作 an， 读作“a的n次方” ，其中a 叫作底数， n 叫作指数.当 an看作是 a的 n次方的结果时，也可读作“ a 的 n 次幂” .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 有理数的乘方可以看作是一种特殊的乘法运算 .
2. 乘方具有双重意义，它不仅表示一种运算——求几个相同因数的积的运算，还表示这种运算的结果——幂.
感悟新知
2. 乘方的意义 an 表示 n 个相同因数 a 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
填空： (1)(－ 2) 5的底数是 _____ ，指数是 _____ ，
它表示 __________________________________ ；
(2) － 25的底数是 _____ ，指数是_____ ，它表示 ___________________ ；
(3) (－ )2的底数是 _____，指数是_____ ，它表示 _________________.
例1
－2
5
(－2) × (－2) × (－2) × (－2) × (－2)
2
5
－2× 2× 2× 2× 2
－
2
(－ × (－ )
知1－练
感悟新知
解：(1) (－ 2) 5 的底数是 － 2 ，指数是 5，
它表示(－ 2) × (－ 2) × (－ 2) × (－ 2) × (－ 2) .
(2) － 25 的底数是 2，指数是 5，
它表示 － 2× 2× 2× 2× 2.
(3)(－ )2的底数是 (－ ) ，指数是 2，
它表示 (－ ) × (－ ).
解题秘方：利用乘方的意义确定底数和指数.
知1－练
感悟新知
1-1. [期中· 安庆] 下列说法正确的是( )
A. － 28的底数是－ 2
B. 25表示5个2相加
C.(－ 3) 3与－ 33意义相同
D. － 的底数是2
D
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知2－讲
知识点
乘方的运算法则
2
1. 有理数的乘方运算法则 求非 0 有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号 .
感悟新知
知2－讲
2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值 . 特别地，当底数较大时，可借助于计算器计算 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 有理数的乘方运算法则主要揭示幂的符号法则.一看底数，二看指数，确定符号后还是按照有理数的乘法算出其结果.
2. 互为相反数的两个非0 有理数的奇次幂仍然互为相反数 .
3. 互为相反数的两个非 0 有理数的偶次幂相等.
感悟新知
知2－讲
3. an， －an 及(－a) n 的区别与联系
an －an (－a) n
相同点 指数都是 n 不 同 点 意义不同 n 个 a 相乘的积 n 个 a 相 乘 的积的相反数 n 个 －a相乘的积
底数不同 a a －a
联系 n 为奇数 －an =(－a) n ，且 －an (－a) n都与 an 互为相反数( a ≠ 0) n 为偶数 an=(－a) n ，且 an，(－a) n都与 －an互为相反数 (a ≠ 0) n 为正整数 an=－an =(－a) n =0( a=0)
感悟新知
知2－练
计算： (1)(－ 5) 4； (2) － 54； (3) ()3；
(4) (－ )3； (5)(－ 1) 2 024； (6) (－ 1 ) 4.
例2
解题秘方：先确定幂的符号，然后转化为乘法运算算出结果.
知2－练
感悟新知
解：(－ 5) 4=+(5× 5× 5× 5) =625.
(1)(－ 5) 4；
(2) － 54；
(3) ()3；
(4) (－ )3；
－ 54 = －(5× 5× 5× 5) = － 625.
()3 =+( × × ) = .
(－ )3 = － ××= － .
知2－练
感悟新知
解：(－ 1) 2 024=+ =1.
(5)(－ 1) 2 024；
(6) (－ 1 ) 4.
(－ 1 ) 4 = (－ ) 4=
+(× × × )= .
－1的奇次幂等于－1，
－1的偶次幂等于1.
求带分数的乘方时，要先
把带分数化成假分数，再
利用乘方的运算法则计算.
知2－练
感悟新知
2-1.下列各组数中，互为相反数的是( )
① －(－ 3)和－ | － 3|；②(－ 2)4和－ 24；
③(－ 2)4和(－ 3)2；④(－ 2)3和－ 23.
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ②
A
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知3－讲
知识点
有理数的混合运算
3
1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到) . 通常把六种基本的代数运算分为三级：
加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；
乘方与开方是第三级运算 .
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知3－讲
活学巧记
混合运算分三级，
运算顺序高到低，
乘方、乘除再加减，
括号内运算最优先 .
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知3－讲
2. 有理数混合运算的顺序
(1)先算高级运算，再算低级运算，即：先乘方，再乘除，最后加减；
(2) 同级运算，按从左到右的顺序进行；
(3) 如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
在运算过程中，一般将小数化为分数，将带分数化为假分数，然后再进行计算.
知3－练
感悟新知
计算: (1) － 72+2×(－ 3) 2+(－ 6)÷ (－ )2；
(2) [(1 － )2 －( － 1 ) ÷ (－ 1 ) ] ×( － 1 ) 3.
例3
解题秘方：按有理数混合运算的顺序计算 .
知3－练
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解：原式 = － 49+2× 9+ (－ 6) × 9
= － 49+18+ (－ 54)
= － 85.
(1) － 72+2×(－ 3) 2+(－ 6)÷ (－ )2；
知3－练
感悟新知
解：原式 = [()2 －( － ) × (－ ) ] ×( － )
= (－ × ) ×( － )
=×( － ) － × ×( － )
= － +5
=3 .
(2) [(1 － )2 －( － 1 ) ÷ (－ 1 ) ] ×( － 1 ) 3.
知3－练
感悟新知
3-1.计算： (1) － 14+ 16 ÷(－ 2) 3× |－3－1|；
解：原式＝－1＋16÷(－8)×4＝－1－8＝－9.
知3－练
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(2)(－2) 3÷(－32)+( － )×(－24)；
(3) －12－ ×［2－ (－3)2］÷(－7).
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知4－讲
知识点
用科学记数法表示数
4
1. 科学记数法 一般地，绝对值大于10的数可以记成 ± a× 10n的形式，其中1 ≤ |a|<10， n等于原数的整数位数减1.
感悟新知
知4－讲
2. 科学记数法中的 a 和 n
(1)将原数的小数点移到最高数位的数字的后边即可得到 a的值 .
(2)确定 n 的两种方法：
①根据原数的整数位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. 例如 2 024 是一个四位整数，用科学记数法表示为 2.024× 10 3，其中 n=4 － 1=3；
②按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 .
知4－讲
感悟新知
特别提醒
1. 用科学记数法表示数只是改变数的形式，不改变数的性质和大小.
2. 用科学记数法表示负数时和正数一样，区别就是前面多一个“－”号.
知4－练
感悟新知
用科学记数法表示下列各数：
(1) 12 000； (2) － 2 021 000 000； (3) 14 000 万 .
解题秘方：在用科学记数法将一个绝对值大于 10 的数表示成 a× 10 n 的形式时， 1 ≤ |a|<10， n 为正整数 .
例4
12 000；
(2) － 2 021 000 000；
(3) 14 000 万 .
知4－练
感悟新知
解：12 000=1.2× 10 4.
－ 2 021 000 000= － 2.021× 10 9.
14 000 万 =14 000× 10 000=140 000 000=1.4× 10 8.
知4－练
感悟新知
4-1. [中考·浙江] 2024年浙江经济一季度GDP为 201 370 000万元，其中201 370 000用科学记数法表示为( )
A. 20.137× 109
B. 0.201 37× 108
C. 2.013 7× 109
D. 2.013 7× 108
D
感悟新知
知4－练
已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：
(1) 2.01× 104；
(2) 6.07× 105；
(3) －3× 103．
例5
解题秘方：将用科学记数法表示的数 ± a× 10 n 还原成原数时，把 a 中的小数点向右移动 n 位，并去掉乘号和 10 n 即可．
知4－练
感悟新知
解：2.01× 10 4=20 100.
6.07× 10 5=607 000.
－3× 103 =－3 000．
(1) 2.01× 104；
(2) 6.07× 105；
(3) －3× 103．
把用科学记数法表示的
数 ±a×10n 还原后，
其整数位数应为 n+1.
知4－练
感悟新知
5-1. ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI推出的 一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达1.75× 1011个模型参数．数据1.75× 1011的位数为__________
12
感悟新知
知4－练
比较大小： 9.523× 1010与 1.002× 1011.
例6
解题秘方：先还原两个用科学记数法表示的数，再比较大小.
解：9.523× 10 10=95 230 000 000，
1.002× 10 11=100 200 000 000.
因为 95 230 000 000<100 200 000 000，
所以 9.523× 10 10<1.002× 10 11.
知4－练
感悟新知
方法点拨：比较用科学记数法表示的两个数的大小的方法：
(1) 若两个数都是正数，先看 n， n 大的原数就大；若 n 相同，则 a(此时 a>0)大的原数就大 .
(2)若是两个负数，则刚好相反， n 大的原数就小；若 n 相同，则 |a|(此时 a<0)大的原数就小 .
知4－练
感悟新知
6-1.用“＜” 或“＞” 填空：
(1)7.58× 106_______2× 107；
(2) －9.6× 105_________－4.31× 106.
＜
＞
有理数的
乘方
科学计数法
有理数的
混合运算
乘方
乘方的意义
乘方的运算

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